A variação de energia cinética De de uma partícula de massa m ao se deslocar, entre os instantes t=a e t=b, sob ação de uma força F(x(t)) é dada por
De
Determinar a variação de energia cinética obtida ao se deslocar um bloco de massa m, preso a uma mola, entre os instantes t=0 e t=1, sob ação da força F(x)=k x, em que k é a constante
elástica da mola e x=x(t)=sen(pi2 t) é a posição do bloco (em relação a sua posição inicial) no instante t.

Passo 1

O enunciado pede a variação de energia cinética ΔE_c entre t=0 e t=1, usando a fórmula De, com F(x)=k,x e x(t)=sinl(tfracpi2tr). Vamos aplicar o teorema trabalho-energia computando essa integral.

Passo 2

Substituímos na integral:
De

Passo 3

Calculamos dxdt:
dxdt = ddtsinl(tfracpi2tr) = pi2cosl(tfracpi2tr)

Passo 4

Então o integrando fica
k,sinl(tfracpi2tr) cdot pi2cosl(tfracpi2tr) = k pi2 sinl(tfracpi2tr)cosl(tfracpi2tr)

Passo 5

Usamos a identidade 2sin Acos A=sin(2A) para simplificar:
sinl(tfracpi2tr)cosl(tfracpi2tr) = tfrac12sin(pi t),

Passo 6

de modo que
De

Passo 7

Calculamos a integral de sin(pi t):
integral0^1 sin(pi t) ,dt = l[-tfrac1picos(pi t)r]0^1 = -tfrac1pil(cospi - cos0r) = -tfrac1pi(-1 - 1) = tfrac2pi

Passo 8

Substituindo de volta em De e simplificando:
De

Resposta

De

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