Usando o fato de que n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 e \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e calcule:
\lim \sqrt[n]{7+3 n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{7+3n}
sabendo que \,n^{1/n}\to1 e \,(1+1/n)^n\to e. O conteúdo envolvido é limite de radiciação de sequência e uso de propriedades do exponencial.

Passo 2

Fatoramos n dentro da raiz enésima:
\sqrt[n]{7+3n} =\sqrt[n]{n}\,\sqrt[n]{3+\tfrac{7}{n}} =n^{1/n}\,\bigl(3+\tfrac{7}{n}\bigr)^{1/n}.

Passo 3

Avaliamo-as em separado:
  • Pela hipótese,
    \displaystyle n^{1/n}\to1.
  • Como 3+\tfrac{7}{n}\to3 e
    \displaystyle(3+\tfrac{7}{n})^{1/n} =\exp\bigl(\tfrac{1}{n}\ln(3+\tfrac{7}{n})\bigr)\to\exp(0)=1.
Multiplicando os dois limites, obtemos 1.

Resposta

1

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