Usando o fato de que n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 e \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e calcule:
\lim n^{\frac{1}{\ln (n)}}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{\ln(n)}}.
O conteúdo é manipular potências e logaritmos usando as propriedades
\ln(a^b)=b\ln(a) e \exp(\ln(x))=x.

Passo 2

Reescrevemos
n^{\frac{1}{\ln(n)}} =\exp\bigl(\ln\bigl(n^{\frac{1}{\ln(n)}}\bigr)\bigr).
Dentro do logaritmo temos
\ln\bigl(n^{\frac{1}{\ln(n)}}\bigr) =\frac{1}{\ln(n)}\cdot\ln(n) =1.

Passo 3

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n^{\frac{1}{\ln(n)}}=\exp(1)=e
para todo n>1. Assim, a sequência é constante igual a e e seu limite é e.

Resposta

e

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