Usando o fato de que n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 e \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e calcule:
\lim \sqrt[n]{n^{3}+3 n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{3}+3n^{2}+4}.
Estamos no tema de limites envolvendo raízes enésimas e vamos usar os fatos
\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1 e que qualquer sequência da forma \lim_{n\to\infty}(1+o(1))^{1/n}=1.

Passo 2

Escrevemos
\sqrt[n]{n^{3}+3n^{2}+4} =\sqrt[n]{n^{3}\bigl(1+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{3}}\bigr)} =\sqrt[n]{n^{3}}\;\sqrt[n]{1+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{3}}}.

Passo 3

Calculamos a primeira raiz:
\sqrt[n]{n^{3}}=(n^{3})^{1/n} =\bigl(n^{1/n}\bigr)^{3} \longrightarrow1^{3}=1
pois \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1.

Passo 4

Para a segunda raiz, note que 1+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{3}}\to1, logo
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{3}{n}+\tfrac{4}{n^{3}}\Bigr)^{1/n} =\exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}\ln\bigl(1+o(1)\bigr)\Bigr) =\exp(0)=1.

Passo 5

Juntando os dois fatores, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{3}+3n^{2}+4} =1\cdot1=1.

Resposta

1

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