Usando a Fórmula de Euler, mostre que
\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2}=\sin t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2}=\sin t.
As informações que temos (implícitas) são que t é um número real e que podemos usar a Fórmula de Euler. Não vamos resolver nada ainda, só identificamos o que é pedido.

Passo 2

Apresento a Fórmula de Euler: para todo t\in\mathbb{R},
e^{i t}=\cos t + i\sin t.
Expliquei: aqui \cos t e \sin t são as funções trigonométricas usuais; i é a unidade imaginária com i^2=-1. A Fórmula de Euler é uma forma compacta de escrever as componentes real e imaginária da exponencial complexa.

Passo 3

Usando a mesma fórmula para -t obtemos
e^{-i t}=\cos(-t)+i\sin(-t).
Como \cos é função par e \sin é função ímpar, isto é, \cos(-t)=\cos t e \sin(-t)=-\sin t, temos
e^{-i t}=\cos t - i\sin t.

Passo 4

Agora subtraímos as duas expressões \,e^{i t} e \,e^{-i t}. Substituindo as fórmulas do Passo 2 e do Passo 3:
e^{i t}-e^{-i t}=(\cos t + i\sin t)-(\cos t - i\sin t).
Fazendo as contas termo a termo, os \cos t se cancelam e os termos com \sin t somam:
e^{i t}-e^{-i t}=2i\sin t.

Passo 5

Dividindo ambos os lados da última igualdade por 2 obtemos
\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2}=i\sin t.
Portanto a expressão da questão não é igual a \sin t; ela vale i\sin t. A identidade correta que expressa \sin t em termos de exponenciais é obtida dividindo por i:
\sin t=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i}.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para fixar): tome t=\frac{\pi}{2}. Então \sin\frac{\pi}{2}=1, enquanto
\frac{e^{i\pi/2}-e^{-i\pi/2}}{2}=\frac{i-(-i)}{2}=\frac{2i}{2}=i,
que é diferente de 1. Isso confirma que a igualdade proposta no enunciado está incorreta; a forma correta usa 2i no denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2}=i\sin t
\displaystyle \sin t=\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2i}

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