Usando a Fórmula de Euler, mostre que
\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2}=\sin t
\frac{e^{i t}-e^{-i t}}{2}=\sin t
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
As informações que temos (implícitas) são que
é um número real e que podemos usar a Fórmula de Euler. Não vamos resolver nada ainda, só identificamos o que é pedido.
Passo 2
Apresento a Fórmula de Euler: para todo
,
Expliquei: aqui
e
são as funções trigonométricas usuais;
é a unidade imaginária com
. A Fórmula de Euler é uma forma compacta de escrever as componentes real e imaginária da exponencial complexa.
Passo 3
Usando a mesma fórmula para
obtemos
Como
é função par e
é função ímpar, isto é,
e
, temos
Passo 4
Agora subtraímos as duas expressões
e
. Substituindo as fórmulas do Passo 2 e do Passo 3:
Fazendo as contas termo a termo, os
se cancelam e os termos com
somam:
Passo 5
Dividindo ambos os lados da última igualdade por
obtemos
Portanto a expressão da questão não é igual a
; ela vale
. A identidade correta que expressa
em termos de exponenciais é obtida dividindo por
:
Passo 6
Verificação numérica rápida (para fixar): tome
. Então
, enquanto
que é diferente de
. Isso confirma que a igualdade proposta no enunciado está incorreta; a forma correta usa
no denominador.