Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
f(x)=x^{3}-3 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-3x+3 e pede três coisas: (1) determinar os pontos críticos, (2) determinar os pontos de inflexão, e (3) esboçar o gráfico da função. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio de grau 3 (portanto é diferenciável em todo \mathbb{R} e as derivadas são polinômios). Não há outras restrições.

Passo 2

Vamos encontrar a primeira derivada f'(x). Lembrete curto e prático: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo em f(x)=x^{3}-3x+3 temos
f'(x)=3x^{2}-3.
Explanação didática: f'(x) dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à curva em cada x. Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe. Como f' é polinômio, não há pontos onde ela deixe de existir; então só precisamos resolver f'(x)=0.

Passo 3

Resolver f'(x)=0:
3x^{2}-3=0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x^{2}-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1=0.
Portanto
x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 1.
Esses são os candidatos a pontos críticos. Agora calculamos os valores de f nesses pontos (para obter as coordenadas dos pontos críticos):
f(1)=1^{3}-3\cdot 1+3=1-3+3=1,
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)+3=-1+3+3=5.
Logo os pontos críticos (coordenadas) são (-1,5) e (1,1).

Passo 4

Classificação dos pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro vamos calcular a segunda derivada f''(x). Regra: derivar f'(x)=3x^{2}-3:
f''(x)=6x.
Interpretação didática: f''(x) informa a concavidade da curva. Se f''(a)>0 a curva é côncava para cima em a (mínimo local possível); se f''(a)<0 é côncava para baixo (máximo local possível). Se f''(a)=0 o teste é inconclusivo e precisamos de mais análise (teste de variação).

Passo 5

Avaliar f'' nos pontos críticos para classificar:
f''(-1)=6(-1)=-6<0 \quad\Rightarrow\quad \text{\((-1,5)\) é máximo local.}éá
f''(1)=6(1)=6>0 \quad\Rightarrow\quad \text{\((1,1)\) é mínimo local.}éí
Explicação amigável: no x=-1 a concavidade é para baixo, então aquele ponto é um “topinho” local; em x=1 a concavidade é para cima, então é um “valezinha” local.

Passo 6

Agora determinamos pontos de inflexão. Definição prática: pontos de inflexão são pontos onde a concavidade muda (isto é, onde f''(x)=0 ou f'' não existe, e ocorre troca de sinal de f''). Como f''(x)=6x, resolvemos
6x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Checamos mudança de sinal de f'': para x<0, f''(x)=6x<0 (concavidade para baixo); para x>0, f''(x)=6x>0 (concavidade para cima). Portanto há mudança de concavidade em x=0, então existe ponto de inflexão em x=0. Calculamos o valor da função:
f(0)=0^{3}-3\cdot 0+3=3.
Logo o ponto de inflexão é (0,3).

Passo 7

Determinar intervalos de crescimento/decrescimento (útil para esboço). Usamos o sinal de f'(x)=3(x-1)(x+1).
  • Para x<-1: escolha x=-2, f'(-2)=3(4-1)=3\cdot 3>0. Logo f é crescente em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<1: escolha x=0, f'(0)=-3<0. Logo f é decrescente em (-1,1).
  • Para x>1: escolha x=2, f'(2)=3(4-1)=9>0. Logo f é crescente em (1,\infty).
Resumo intuitivo: a curva sobe vindo de -\infty, atinge máximo local em (-1,5), desce até o mínimo local em (1,1), e depois sobe para +\infty.

Passo 8

Construção do esboço (descrição e pontos importantes). Dados para marcar no esboço:
  • Comportamento nas extremidades: como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, temos \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty e \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
  • Pontos críticos e classificação: (-1,5) máximo local; (1,1) mínimo local.
  • Ponto de inflexão: (0,3) (a concavidade troca de para baixo para para cima ao passar por esse ponto).
  • Intervalos de monotonia: crescente em (-\infty,-1), decrescente em (-1,1), crescente em (1,\infty).
Esboço esquemático (representação ASCII aproximada — observe as posições relativas dos pontos):
\n
|
6 + *
| /
| /
5 ±----*
| /
| /
4 + /
|/
|
3 + (0,3)
|
|
2 +
|
|
1 + * (1,1)
|
|
-1 +
--------------------------------
-1 0 1
Na figura ASCII: o ponto (-1,5) aparece como o pico à esquerda, (0,3) é o ponto de inflexão no meio, e (1,1) é o vale à direita. Esse esboço é qualtitativo: o importante é posicionar corretamente os pontos e a forma (subida, pico, descida, vale, subida).

Resposta

Pontos críticos: (-1,5) (máximo local), (1,1) (mínimo local)
Ponto de inflexão: (0,3)
Esboço: polinômio cúbico com comportamento \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, sobe até o máximo local em (-1,5), desce atravessando o ponto de inflexão (0,3), atinge o mínimo local em (1,1), e sobe para \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.

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