Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: (1) determinar os pontos críticos, (2) determinar os pontos de inflexão, e (3) esboçar o gráfico da função. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio de grau 3 (portanto é diferenciável em todo
e as derivadas são polinômios). Não há outras restrições.
Passo 2
Vamos encontrar a primeira derivada
. Lembrete curto e prático: a derivada de
é
. Aplicando termo a termo em
temos
Explanação didática:
dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à curva em cada
. Pontos críticos são pontos onde
ou onde
não existe. Como
é polinômio, não há pontos onde ela deixe de existir; então só precisamos resolver
.
Passo 3
Resolver
:
Portanto
Esses são os candidatos a pontos críticos. Agora calculamos os valores de
nesses pontos (para obter as coordenadas dos pontos críticos):
Logo os pontos críticos (coordenadas) são
e
.
Passo 4
Classificação dos pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro vamos calcular a segunda derivada
. Regra: derivar
:
Interpretação didática:
informa a concavidade da curva. Se
a curva é côncava para cima em
(mínimo local possível); se
é côncava para baixo (máximo local possível). Se
o teste é inconclusivo e precisamos de mais análise (teste de variação).
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos para classificar:
Explicação amigável: no
a concavidade é para baixo, então aquele ponto é um “topinho” local; em
a concavidade é para cima, então é um “valezinha” local.
Passo 6
Agora determinamos pontos de inflexão. Definição prática: pontos de inflexão são pontos onde a concavidade muda (isto é, onde
ou
não existe, e ocorre troca de sinal de
). Como
, resolvemos
Checamos mudança de sinal de
: para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima). Portanto há mudança de concavidade em
, então existe ponto de inflexão em
. Calculamos o valor da função:
Logo o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Determinar intervalos de crescimento/decrescimento (útil para esboço). Usamos o sinal de
.
- Para
: escolha , . Logo é crescente em . - Para
: escolha , . Logo é decrescente em . - Para
: escolha , . Logo é crescente em .
Resumo intuitivo: a curva sobe vindo de
, atinge máximo local em
, desce até o mínimo local em
, e depois sobe para
.
Passo 8
Construção do esboço (descrição e pontos importantes). Dados para marcar no esboço:
- Comportamento nas extremidades: como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente líder positivo, temos
e . - Pontos críticos e classificação:
máximo local; mínimo local. - Ponto de inflexão:
(a concavidade troca de para baixo para para cima ao passar por esse ponto). - Intervalos de monotonia: crescente em
, decrescente em , crescente em .
Esboço esquemático (representação ASCII aproximada — observe as posições relativas dos pontos):
\n
|
6 + *
| /
| /
5 ±----*
| /
| /
4 + /
|/
|
3 + (0,3)
|
|
2 +
|
|
1 + * (1,1)
|
|
-1 +
--------------------------------
-1 0 1
\n
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6 + *
| /
| /
5 ±----*
| /
| /
4 + /
|/
|
3 + (0,3)
|
|
2 +
|
|
1 + * (1,1)
|
|
-1 +
--------------------------------
-1 0 1
Na figura ASCII: o ponto
aparece como o pico à esquerda,
é o ponto de inflexão no meio, e
é o vale à direita. Esse esboço é qualtitativo: o importante é posicionar corretamente os pontos e a forma (subida, pico, descida, vale, subida).
Resposta
Pontos críticos:
(máximo local),
(mínimo local)
Ponto de inflexão:
Esboço: polinômio cúbico com comportamento , sobe até o máximo local em
, desce atravessando o ponto de inflexão
, atinge o mínimo local em
, e sobe para
.
Ponto de inflexão:
Esboço: polinômio cúbico com comportamento