Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
, onde
consiste no arco da curva
de
a
e do segmento de reta
a
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
onde
é composta pelo arco da curva
de
a
e pelo segmento de reta de
a
. Informações dadas que vou usar explicitamente:
- O campo vetorial (componentes
) é, assumindo que houve um pequeno erro tipográfico e que a segunda componente depende de (pois a integral está em ), eu tomo (Escolhi no lugar de porque faz sentido no contexto — a região e a curva estão em .) - A curva
segue primeiro o arco de até , e depois o segmento de reta do ponto até , fechando a região. - O domínio encerrado por
é a região .
Não vou resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e todas as informações que vou usar.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Green. Primeiro explico o teorema e a questão da orientação.
Teorema de Green (forma útil aqui): se
é uma curva fechada suave que orienta positivamente (no sentido anti-horário) a região
e
têm derivadas parciais contínuas em
, então
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Importante sobre orientação: o teorema usa
orientada no sentido anti-horário. Vamos conferir a orientação do
dado: percorremos o arco superior
de
até
(da esquerda para a direita) e depois voltamos sobre o eixo
do ponto
para
(da direita para a esquerda). Essa orientação deixa a região
consistentemente à direita do sentido de percurso, isto é, a curva
dada é percorrida no sentido horário (orientação negativa). Portanto, a integral de linha pedida é o negativo da integral dada pelo lado direito do Teorema de Green. Em símbolos:
Passo 3
Calculo as derivadas parciais que aparecem no integrando do teorema.
Temos
e
.
-
A derivada parcial de
em relação a é porqueé tratado como constante ao derivar em . -
A derivada parcial de
em relação a é porqueé constante em relação a .
Logo o integrando do duplo é
Passo 4
Agora escrevo a integral dupla sobre a região
. Como já identifiquei
, posso escrever
Lembre que a integral de linha desejada é o negativo dessa integral, por causa da orientação (ver Passo 2).
Passo 5
Calculo a integral interna em
:
separo em duas integrais:
- Para a primeira,
é constante em , então - Para a segunda,
Portanto a integral interna dá
Passo 6
Agora integro isso em
:
Divido em duas integrais
de modo que
.
Calculo
por integração por partes. Escolho
então
Pela fórmula
,
Avalio os termos:
e
Logo
Passo 7
Calculo
. Uso a identidade de redução
(Essa identidade vem das fórmulas de múltiplos ou do desenvolvimento em série de senos; o importante é que é uma identidade trigonométrica padrão.)
Assim
Calculo cada integral:
E
Como
e
, temos
Portanto
Passo 8
Juntando
e
,
Lembro que a integral de linha pedida é o negativo dessa integral porque a curva
foi percorrida no sentido horário. Assim