Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
\oint_{C}\left(\sqrt{x}+y^{3}, x^{2}+\sqrt{t}\right) d r, onde C consiste no arco da curva y= \operatorname{sen}(x) de (0,0) a (\pi, 0) e do segmento de reta (\pi, 0) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\oint_{C} \bigl(\sqrt{x}+y^{3},\; x^{2}+\sqrt{t}\bigr)\cdot d r
onde C é composta pelo arco da curva y=\operatorname{sen}(x) de (0,0) a (\pi,0) e pelo segmento de reta de (\pi,0) a (0,0). Informações dadas que vou usar explicitamente:
  • O campo vetorial (componentes P,Q) é, assumindo que houve um pequeno erro tipográfico e que a segunda componente depende de y (pois a integral está em x,y), eu tomo P(x,y)=\sqrt{x}+y^{3},\qquad Q(x,y)=x^{2}+\sqrt{y}.(Escolhi \sqrt{y} no lugar de \sqrt{t} porque faz sentido no contexto — a região e a curva estão em (x,y).)
  • A curva C segue primeiro o arco y=\operatorname{sen}(x) de x=0 até x=\pi, e depois o segmento de reta do ponto (\pi,0) até (0,0), fechando a região.
  • O domínio encerrado por C é a região D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\; 0\le y\le\operatorname{sen}(x)\}.
Não vou resolver ainda; só deixei claro o que é pedido e todas as informações que vou usar.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Green. Primeiro explico o teorema e a questão da orientação.
Teorema de Green (forma útil aqui): se C é uma curva fechada suave que orienta positivamente (no sentido anti-horário) a região D e P,Q têm derivadas parciais contínuas em D, então
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
Importante sobre orientação: o teorema usa C orientada no sentido anti-horário. Vamos conferir a orientação do C dado: percorremos o arco superior y=\operatorname{sen}(x) de (0,0) até (\pi,0) (da esquerda para a direita) e depois voltamos sobre o eixo x do ponto (\pi,0) para (0,0) (da direita para a esquerda). Essa orientação deixa a região D consistentemente à direita do sentido de percurso, isto é, a curva C dada é percorrida no sentido horário (orientação negativa). Portanto, a integral de linha pedida é o negativo da integral dada pelo lado direito do Teorema de Green. Em símbolos:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = -\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais que aparecem no integrando do teorema.
Temos P(x,y)=\sqrt{x}+y^{3} e Q(x,y)=x^{2}+\sqrt{y}.
  • A derivada parcial de Q em relação a x é
    \frac{\partial Q}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+\sqrt{y}\bigr)=2x,
    porque \sqrt{y} é tratado como constante ao derivar em x.
  • A derivada parcial de P em relação a y é
    \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sqrt{x}+y^{3}\bigr)=3y^{2},
    porque \sqrt{x} é constante em relação a y.
Logo o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-3y^{2}.

Passo 4

Agora escrevo a integral dupla sobre a região D. Como já identifiquei D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\; 0\le y\le\operatorname{sen}(x)\}, posso escrever
\iint_{D}\bigl(2x-3y^{2}\bigr)\,dA=\int_{x=0}^{\pi}\left(\int_{y=0}^{\operatorname{sen}(x)}(2x-3y^{2})\,dy\right)dx.
Lembre que a integral de linha desejada é o negativo dessa integral, por causa da orientação (ver Passo 2).

Passo 5

Calculo a integral interna em y:
\int_{y=0}^{\operatorname{sen}(x)}(2x-3y^{2})\,dy
separo em duas integrais:
\int_{0}^{\operatorname{sen}(x)}2x\,dy \;-\; \int_{0}^{\operatorname{sen}(x)}3y^{2}\,dy.
  • Para a primeira, 2x é constante em y, então \int_{0}^{\operatorname{sen}(x)}2x\,dy = 2x\bigl[y\bigr]_{0}^{\operatorname{sen}(x)} = 2x\operatorname{sen}(x).
  • Para a segunda, \int_{0}^{\operatorname{sen}(x)}3y^{2}\,dy = 3\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{\operatorname{sen}(x)} = (\operatorname{sen}(x))^{3}.
Portanto a integral interna dá
2x\operatorname{sen}(x) - (\operatorname{sen}(x))^{3}.

Passo 6

Agora integro isso em x:
\iint_{D}(2x-3y^{2})\,dA=\int_{0}^{\pi}\bigl(2x\operatorname{sen}(x) - (\operatorname{sen}(x))^{3}\bigr)\,dx.
Divido em duas integrais
I=\int_{0}^{\pi}2x\operatorname{sen}(x)\,dx \quad\text{e}\quad J=\int_{0}^{\pi}(\operatorname{sen}(x))^{3}\,dx,
de modo que \iint_{D}=I-J.
Calculo I por integração por partes. Escolho
u=2x,\qquad dv=\operatorname{sen}(x)\,dx,
então
du=2\,dx,\qquad v=-\operatorname{cos}(x).
Pela fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du,
I=[2x(-\operatorname{cos}x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}(-\operatorname{cos}x)\cdot 2\,dx.
Avalio os termos:
[ -2x\operatorname{cos}x ]_{0}^{\pi} = -2\pi\operatorname{cos}\pi - 0\cdot\operatorname{cos}0 = -2\pi(-1)=2\pi,
e
- \int_{0}^{\pi}(-2\operatorname{cos}x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi}\operatorname{cos}x\,dx = 2[\operatorname{sen}x]_{0}^{\pi} = 2(0-0)=0.
Logo
I=2\pi.

Passo 7

Calculo J=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx. Uso a identidade de redução
\operatorname{sen}^{3}x=\frac{3\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}(3x)}{4}.
(Essa identidade vem das fórmulas de múltiplos ou do desenvolvimento em série de senos; o importante é que é uma identidade trigonométrica padrão.)
Assim
J=\int_{0}^{\pi}\frac{3\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}(3x)}{4}\,dx=\frac{1}{4}\Bigl(3\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx - \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(3x)\,dx\Bigr).
Calculo cada integral:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx = [-\operatorname{cos}x]_{0}^{\pi} = -\operatorname{cos}\pi + \operatorname{cos}0 = -(-1)+1 = 2.
E
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(3x)\,dx = \left[-\frac{1}{3}\operatorname{cos}(3x)\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{3}\bigl(\operatorname{cos}(3\pi)-\operatorname{cos}0\bigr).
Como \operatorname{cos}(3\pi)=\operatorname{cos}\pi=-1 e \operatorname{cos}0=1, temos
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(3x)\,dx = -\frac{1}{3}(-1-1)= -\frac{1}{3}(-2)=\frac{2}{3}.
Portanto
J=\frac{1}{4}\Bigl(3\cdot 2 - \frac{2}{3}\Bigr)=\frac{1}{4}\Bigl(6-\frac{2}{3}\Bigr)=\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 8

Juntando I e J,
\iint_{D}\bigl(2x-3y^{2}\bigr)\,dA = I-J = 2\pi - \frac{4}{3}.
Lembro que a integral de linha pedida é o negativo dessa integral porque a curva C foi percorrida no sentido horário. Assim
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = -\left(2\pi - \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}-2\pi.

Resposta

\dfrac{4}{3}-2\pi

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