Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
\oint_{C} y^{2} d x+(2 x-3 y) d y, em que C é o círculo x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} y^{2}\,dx + (2x-3y)\,dy,
onde C é o círculo \;x^{2}+y^{2}=9\;. As informações relevantes que temos são:
  • A curva C é o círculo de raio 3 centrado na origem; o domínio interior é o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
  • A integral é uma integral de linha ao longo de C. Não foi especificada orientação; por convenção, para usar o resultado que vamos aplicar assumimos que C está orientada positivamente (no sentido anti-horário).
  • O integrando na forma diferencial é P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P e Q dados pela expressão acima.

Passo 2

Vou usar uma ferramenta que transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior da curva. A fórmula que usamos é a seguinte (aqui explico o que cada símbolo significa):
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes da forma diferencial ao longo de C.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} significa derivar Q em relação a x mantendo y fixo.
  • \frac{\partial P}{\partial y} significa derivar P em relação a y mantendo x fixo.
  • D é a região interior à curva C.
  • dA é o elemento de área (equivalente a dx\,dy).
Esse resultado exige que P e Q tenham derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, o que é verdade aqui (polinômios).

Passo 3

Identifico P e Q a partir do integrando:
P(x,y)=y^{2},\qquad Q(x,y)=2x-3y.
Agora calculo as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x-3y)=2,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Portanto o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - 2y.

Passo 4

Pelo passo anterior, a integral de linha se transforma na integral dupla sobre o disco D:
\oint_{C} y^{2}\,dx + (2x-3y)\,dy = \iint_{D} (2-2y)\,dA.
Aqui D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}. Vou calcular essa integral dupla separando em duas partes:
\iint_{D} (2-2y)\,dA = \iint_{D} 2\,dA \;-\; \iint_{D} 2y\,dA.

Passo 5

Calculo a primeira parcela \iint_{D} 2\,dA. Essa é fácil porque é constante sobre D:
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Área}(D).Á
Como D é um disco de raio 3, \text{Área}(D)=\pi\cdot 3^{2} = 9\piÁ. Logo
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot 9\pi = 18\pi.

Passo 6

Calculo a segunda parcela \iint_{D} 2y\,dA. Note que 2y é uma função ímpar em relação a reflexão pelo eixo x: para cada ponto (x,y) em D existe (x,-y) também em D, e 2y muda de sinal. O disco é simétrico em relação ao eixo x, portanto a integral de y sobre o disco é zero:
\iint_{D} y\,dA = 0 \quad\Rightarrow\quad \iint_{D} 2y\,dA = 2\cdot 0 = 0.
(Se preferir ver em coordenadas polares: y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta; então \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, o que também mostra que a integral é zero.)

Passo 7

Juntando as parcelas do Passo 4:
\iint_{D} (2-2y)\,dA = \iint_{D} 2\,dA \;-\; \iint_{D} 2y\,dA = 18\pi - 0 = 18\pi.
Portanto a integral de linha pedida vale 18\pi.

Resposta

18\pi

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