Use o Teorema de Green para calcular as integrais:
, em que
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o círculo
. As informações relevantes que temos são:
- A curva
é o círculo de raio centrado na origem; o domínio interior é o disco . - A integral é uma integral de linha ao longo de
. Não foi especificada orientação; por convenção, para usar o resultado que vamos aplicar assumimos que está orientada positivamente (no sentido anti-horário). - O integrando na forma diferencial é
com e dados pela expressão acima.
Passo 2
Vou usar uma ferramenta que transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior da curva. A fórmula que usamos é a seguinte (aqui explico o que cada símbolo significa):
-
e são as componentes da forma diferencial ao longo de . -
significa derivar em relação a mantendo fixo. -
significa derivar em relação a mantendo fixo. -
é a região interior à curva . -
é o elemento de área (equivalente a ).
Esse resultado exige que
e
tenham derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, o que é verdade aqui (polinômios).
Passo 3
Identifico
e
a partir do integrando:
Agora calculo as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Portanto o integrando da integral dupla é
Passo 4
Pelo passo anterior, a integral de linha se transforma na integral dupla sobre o disco
:
Aqui
. Vou calcular essa integral dupla separando em duas partes:
Passo 5
Calculo a primeira parcela
. Essa é fácil porque é constante sobre
:
Como
é um disco de raio
,
. Logo
Passo 6
Calculo a segunda parcela
. Note que
é uma função ímpar em relação a reflexão pelo eixo
: para cada ponto
em
existe
também em
, e
muda de sinal. O disco é simétrico em relação ao eixo
, portanto a integral de
sobre o disco é zero:
(Se preferir ver em coordenadas polares:
e
; então
, o que também mostra que a integral é zero.)
Passo 7
Juntando as parcelas do Passo 4:
Portanto a integral de linha pedida vale
.