Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais: \int_{C} \frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}} d z em que C=\left\{z(t)=e^{i t} ; 0 \leq t \leq 2 \pi\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}\,dz
onde C é a curva parametrizada por z(t)=e^{it}, 0\le t\le 2\pi. Listei as informações dadas e o que é pedido:
A função integranda é \dfrac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}.
A curva C é o círculo unitário (centro 0, raio 1) percorrido no sentido positivo (pois t cresce de 0 a 2\pi).
Preciso calcular o valor complexo da integral ao longo de C.
Passo 2
Identificar singulares e se estão dentro de C.
O denominador anula quando 4z-i=0, ou seja em
z = a := \frac{i}{4}.
Calculo o módulo de a: |a|=\left|\frac{i}{4}\right|=\frac{1}{4}<1. Portanto a singularidade z=a está estritamente dentro do círculo unitário C.
A singularidade é de ordem 3 porque o denominador tem potência 3: (4z-i)^{3}.
Passo 3
Reescrever a integranda na forma conveniente para aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas.
Apresentar a versão da fórmula integral de Cauchy que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
Fórmula (versão para derivadas): se f é holomorfa em uma vizinhança de a (exceto possivelmente em pontos fora do interior de C) e C é um contorno simples positivo contendo a no interior, então, para inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em z=a.
n! é o fatorial de n.
A integral é calculada no sentido positivo (contra-horário).
Pequena justificativa intuitiva: expandindo f em série de Taylor ao redor de a, f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(z-a)^{k}. Ao dividir por (z-a)^{n+1} e integrar termo a termo, só o termo com k=n produz a potência (z-a)^{-1} cuja integral em torno de C é 2\pi i; isso gera o fator \dfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a).
Passo 5
Identificar n e aplicar a fórmula ao nosso caso.
Na nossa expressão temos \dfrac{f(z)}{(z-a)^{3}}. Isso corresponde a n+1=3, logo n=2.