Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
\int_{C} \frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}} d z em que C=\left\{z(t)=e^{i t} ; 0 \leq t \leq 2 \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}\,dz
onde C é a curva parametrizada por z(t)=e^{it}, 0\le t\le 2\pi. Listei as informações dadas e o que é pedido:
  • A função integranda é \dfrac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}.
  • A curva C é o círculo unitário (centro 0, raio 1) percorrido no sentido positivo (pois t cresce de 0 a 2\pi).
  • Preciso calcular o valor complexo da integral ao longo de C.

Passo 2

Identificar singulares e se estão dentro de C.
  • O denominador anula quando 4z-i=0, ou seja em
z = a := \frac{i}{4}.
  • Calculo o módulo de a: |a|=\left|\frac{i}{4}\right|=\frac{1}{4}<1. Portanto a singularidade z=a está estritamente dentro do círculo unitário C.
  • A singularidade é de ordem 3 porque o denominador tem potência 3: (4z-i)^{3}.

Passo 3

Reescrever a integranda na forma conveniente para aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas.
  • Note que
(4z-i)^{3} = 4^{3}\,(z-a)^{3} = 64\,(z-a)^{3},
onde a=\dfrac{i}{4}.
  • Logo a integranda pode ser escrita como
\frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}=\frac{1}{64}\,\frac{f(z)}{(z-a)^{3}},
com f(z):=z^{2}+z+i.

Passo 4

Apresentar a versão da fórmula integral de Cauchy que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
  • Fórmula (versão para derivadas): se f é holomorfa em uma vizinhança de a (exceto possivelmente em pontos fora do interior de C) e C é um contorno simples positivo contendo a no interior, então, para inteiro n\ge 0,
\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(a).
  • Explicação dos símbolos:
    • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em z=a.
    • n! é o fatorial de n.
    • A integral é calculada no sentido positivo (contra-horário).
  • Pequena justificativa intuitiva: expandindo f em série de Taylor ao redor de a, f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(z-a)^{k}. Ao dividir por (z-a)^{n+1} e integrar termo a termo, só o termo com k=n produz a potência (z-a)^{-1} cuja integral em torno de C é 2\pi i; isso gera o fator \dfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a).

Passo 5

Identificar n e aplicar a fórmula ao nosso caso.
  • Na nossa expressão temos \dfrac{f(z)}{(z-a)^{3}}. Isso corresponde a n+1=3, logo n=2.
  • Portanto, pela fórmula,
\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{3}}\,dz = \frac{2\pi i}{2!}\,f^{(2)}(a) = \pi i\, f^{(2)}(a).
  • Mas a integral original tem o fator \dfrac{1}{64} em frente. Assim
\int_{C}\frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}\,dz = \frac{1}{64}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{3}}\,dz = \frac{1}{64}\,\pi i\, f^{(2)}(a).

Passo 6

Calcular as derivadas de f e avaliar em a.
  • Definição: f(z)=z^{2}+z+i.
  • Derivando passo a passo:
    • A primeira derivada é f'(z)=2z+1.
    • A segunda derivada é f''(z)=2.
  • Como f''(z) é constante, f''(a)=2 independentemente de a.

Passo 7

Substituir f^{(2)}(a) na expressão da integral e simplificar.
  • Temos
\int_{C}\frac{z^{2}+z+i}{(4 z-i)^{3}}\,dz = \frac{1}{64}\,\pi i \cdot 2.
  • Simplificando:
\frac{1}{64}\,\pi i \cdot 2 = \frac{2\pi i}{64} = \frac{\pi i}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi i}{32}

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