Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
em que
é o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
onde
é o círculo
(assumimos a orientação positiva, isto é, anti-horária). Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - Os pontos singulares (zeros dos denominadores) são
(da fator ) e (das soluções de ). - O círculo
contém no seu interior pontos com módulo menor que . Entre os singulares listados, apenas satisfaz (pois ), enquanto e têm módulo e estão fora da região interior a . - A pergunta é: qual é o valor numérico da integral fechada acima?
Passo 2
Escolhemos usar a fórmula integral de Cauchy (a qual foi indicada no enunciado). Vou explicar a fórmula de forma didática:
- Seja
uma função analítica (ou seja, holomorfa) em uma região que contém a interior do contorno fechado e sua vizinhança, e seja um ponto no interior de . - A fórmula integral de Cauchy diz:
- Aqui
é a função que está “fora” do fator e é o ponto onde aparece o polo simples. A condição de ser analítica no interior de garante que não há outros problemas no interior que invalidem a aplicação da fórmula. - Em termos intuitivos: a integral captura apenas o valor da função
no ponto , multiplicado por .
Passo 3
Vamos reescrever a integranda na forma
de modo a poder aplicar a fórmula de Cauchy.
- Tomamos
(o único singular dentro de ) e definimos
- Assim a integranda é exatamente
. - Precisamos verificar que
é analítica na região interior a (ou seja, em ). As possíveis singularidades de vêm de , isto é, . Esses pontos têm módulo , portanto estão fora do disco de raio . Concluímos que é analítica em toda a região que contém o interior e a borda de . Logo a hipótese da fórmula de Cauchy está satisfeita.
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Cauchy calculando
.
- Primeiro calcule o denominador em
:
- Então
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de Cauchy:
Substituindo
,
Como
, obtemos