Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
\int_{C} \frac{z}{(z-i)\left(9-z^{2}\right)} d z em que C é o círculo |z|=2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{C}\frac{z}{(z-i)\left(9-z^{2}\right)}\,dz
onde C é o círculo |z|=2 (assumimos a orientação positiva, isto é, anti-horária). Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função integranda é \displaystyle \frac{z}{(z-i)(9-z^{2})}.
  • Os pontos singulares (zeros dos denominadores) são \;z=i\; (da fator (z-i)) e \;z=\pm 3\; (das soluções de 9-z^{2}=0).
  • O círculo |z|=2 contém no seu interior pontos com módulo menor que 2. Entre os singulares listados, apenas \;z=i\; satisfaz |z|<2 (pois |i|=1<2), enquanto \;z=3\; e \;z=-3\; têm módulo 3>2 e estão fora da região interior a C.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da integral fechada acima?

Passo 2

Escolhemos usar a fórmula integral de Cauchy (a qual foi indicada no enunciado). Vou explicar a fórmula de forma didática:
  • Seja g uma função analítica (ou seja, holomorfa) em uma região que contém a interior do contorno fechado C e sua vizinhança, e seja a um ponto no interior de C.
  • A fórmula integral de Cauchy diz:
\int_{C}\frac{g(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,g(a).
  • Aqui g é a função que está “fora” do fator (z-a) e a é o ponto onde aparece o polo simples. A condição de g ser analítica no interior de C garante que não há outros problemas no interior que invalidem a aplicação da fórmula.
  • Em termos intuitivos: a integral captura apenas o valor da função g no ponto a, multiplicado por 2\pi i.

Passo 3

Vamos reescrever a integranda na forma \dfrac{g(z)}{z-a} de modo a poder aplicar a fórmula de Cauchy.
  • Tomamos a=i (o único singular dentro de C) e definimos
g(z)=\frac{z}{9-z^{2}}.
  • Assim a integranda é exatamente \dfrac{g(z)}{z-i}.
  • Precisamos verificar que g é analítica na região interior a C (ou seja, em |z|\le 2). As possíveis singularidades de g vêm de 9-z^{2}=0, isto é, z=\pm 3. Esses pontos têm módulo 3, portanto estão fora do disco de raio 2. Concluímos que g é analítica em toda a região que contém o interior e a borda de C. Logo a hipótese da fórmula de Cauchy está satisfeita.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Cauchy calculando g(i).
  • Primeiro calcule o denominador em z=i:
9 - i^{2} = 9 - (-1) = 10.
  • Então
g(i)=\frac{i}{9-i^{2}}=\frac{i}{10}=\frac{i}{10}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Cauchy:
\int_{C}\frac{z}{(z-i)(9-z^{2})}\,dz = \int_{C}\frac{g(z)}{z-i}\,dz = 2\pi i\,g(i).
Substituindo g(i)=\dfrac{i}{10},
\int_{C}\frac{z}{(z-i)(9-z^{2})}\,dz = 2\pi i\cdot\frac{i}{10} = \frac{2\pi i^{2}}{10}.
Como i^{2}=-1, obtemos
\frac{2\pi (-1)}{10} = -\frac{2\pi}{10} = -\frac{\pi}{5}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{5}

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