Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
\int_{C}\left(\frac{z+3}{z}\right) d z onde C=\left\{z(t)=3 e^{i t} ; 0 \leq t \leq 2 \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(\frac{z+3}{z}\right)\,dz
ao longo da curva C dada pela parametrização
z(t)=3e^{it},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações importantes fornecidas:
  • A curva C é a circunferência centrada na origem com raio 3, percorrida com t de 0 a 2\pi (ou seja, uma volta completa no sentido anti-horário).
  • A função integranda é \dfrac{z+3}{z}, que tem singularidade em z=0 (mas z=0 está no interior da curva).
  • Foi dada explicitamente a parametrização, então devemos usar essa parametrização para avaliar a integral.

Passo 2

Vamos trabalhar com a parametrização z(t)=3e^{it}. Primeiro calculemos o diferencial dz.
Explicação do que estamos fazendo: ao usar uma parametrização z(t), substituímos z por z(t) e dz por z'(t)\,dt. Aqui t é a variável real do parâmetro e z(t) é o ponto complexo na curva para cada t.
Calculemos a derivada:
\frac{dz}{dt}=z'(t)=3i e^{it}.
Portanto o diferencial é
dz = z'(t)\,dt = 3i e^{it}\,dt.

Passo 3

Expressamos a integranda em função de t. Primeiro simplificamos a expressão algebraicamente antes de substituir:
\frac{z+3}{z}=1+\frac{3}{z}.
Essa manipulação é importante: separa um termo simples 1 e um termo com 1/z, que tem comportamento especial em integrais ao redor da origem.
Substituindo z=z(t)=3e^{it} temos
\frac{3}{z(t)}=\frac{3}{3e^{it}}=e^{-it}.
E também lembrando dz=3i e^{it}\,dt, vamos montar a integral parametrizada:
\int_{C}\left(\frac{z+3}{z}\right)\,dz=\int_{0}^{2\pi}\left(1+\frac{3}{z(t)}\right)z'(t)\,dt.

Passo 4

Agora substituímos explicitamente z'(t) e \frac{3}{z(t)} na expressão e simplificamos termo a termo.
Escrevendo:
\int_{C}\left(\frac{z+3}{z}\right)\,dz=\int_{0}^{2\pi}\left(1+e^{-it}\right)\cdot 3i e^{it}\,dt.
Multiplicando os fatores internos:
\left(1+e^{-it}\right)3i e^{it}=3i e^{it}+3i e^{-it}e^{it}=3i e^{it}+3i.
Observe que e^{-it}e^{it}=1. Portanto a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\big(3i e^{it}+3i\big)\,dt.

Passo 5

Vamos separar a integral em duas e calcular cada parte. Isso é uma técnica padrão: transformar uma integral complicada em soma de integrais simples.
Escrevemos
\int_{0}^{2\pi}\big(3i e^{it}+3i\big)\,dt=3i\int_{0}^{2\pi}e^{it}\,dt+3i\int_{0}^{2\pi}1\,dt.
Calculamos cada uma:
  1. Para a primeira:
\int_{0}^{2\pi}e^{it}\,dt=\left[\frac{e^{it}}{i}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{e^{2\pi i}-e^{0}}{i}=\frac{1-1}{i}=0,
pois e^{2\pi i}=1. Então
3i\int_{0}^{2\pi}e^{it}\,dt=3i\cdot 0=0.
  1. Para a segunda:
3i\int_{0}^{2\pi}1\,dt=3i\cdot (2\pi-0)=6\pi i.

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais obtemos
\int_{C}\left(\frac{z+3}{z}\right)\,dz=0+6\pi i=6\pi i.
Comentário didático rápido (como lembrar na prova): uma maneira mais curta — que vale a pena memorizar — é notar que
\frac{z+3}{z}=1+\frac{3}{z},
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\int_C \left(1+\frac{3}{z}\right)\,dz=\int_C dz + 3\int_C\frac{dz}{z}.
A primeira integral é zero porque é a integral de uma derivada ao longo de uma curva fechada (ou porque z(2\pi)=z(0)), e a segunda é 3 vezes 2\pi i (a integral padrão \oint_C \frac{dz}{z}=2\pi i para uma volta anti-horária em torno da origem). Isso dá diretamente 6\pi i.

Resposta

6\pi i

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