Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
dada pela parametrização
Informações importantes fornecidas:
- A curva
é a circunferência centrada na origem com raio , percorrida com de a (ou seja, uma volta completa no sentido anti-horário). - A função integranda é
, que tem singularidade em (mas está no interior da curva). - Foi dada explicitamente a parametrização, então devemos usar essa parametrização para avaliar a integral.
Passo 2
Vamos trabalhar com a parametrização
. Primeiro calculemos o diferencial
.
Explicação do que estamos fazendo: ao usar uma parametrização
, substituímos
por
e
por
. Aqui
é a variável real do parâmetro e
é o ponto complexo na curva para cada
.
Calculemos a derivada:
Portanto o diferencial é
Passo 3
Expressamos a integranda em função de
. Primeiro simplificamos a expressão algebraicamente antes de substituir:
Essa manipulação é importante: separa um termo simples
e um termo com
, que tem comportamento especial em integrais ao redor da origem.
Substituindo
temos
E também lembrando
, vamos montar a integral parametrizada:
Passo 4
Agora substituímos explicitamente
e
na expressão e simplificamos termo a termo.
Escrevendo:
Multiplicando os fatores internos:
Observe que
. Portanto a integral fica
Passo 5
Vamos separar a integral em duas e calcular cada parte. Isso é uma técnica padrão: transformar uma integral complicada em soma de integrais simples.
Escrevemos
Calculamos cada uma:
- Para a primeira:
pois
. Então
- Para a segunda:
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais obtemos
Comentário didático rápido (como lembrar na prova): uma maneira mais curta — que vale a pena memorizar — é notar que
logo
A primeira integral é zero porque é a integral de uma derivada ao longo de uma curva fechada (ou porque
), e a segunda é
vezes
(a integral padrão
para uma volta anti-horária em torno da origem). Isso dá diretamente
.