Encontre a derivada da função:
\quad f(x)=\ln \left(x^{2}+x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, já que f é um logaritmo natural de uma função interna u(x)=x^{2}+x+1.

Passo 2

Calculamos a derivada da função interna
u(x)=x^{2}+x+1.
Como a derivada de x^{2} é 2x e de x é 1, temos
u'(x)=2x+1.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), cuja derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u(x) e u'(x), resulta
f'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}.

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