Usando frações parciais, resolver as seguintes integrais:
integral 2 x^3+5x^2-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2x^3 + 5x^2 - 2x ,dx. O conteúdo envolve frações parciais: primeiro vamos reduzir o grau do quociente fazendo divisão de polinômios e depois decompor o resto em frações parciais antes de integrar cada parte.

Passo 2

Fazemos a divisão polinomial de 2x^3 + 5 por x^2 - 2x. O resultado é:
2x^3 + 5x^2 - 2x = 2x + 4 + 8x + 5x(x-2)
Para decompor 8x + 5x(x-2), escrevemos:
8x + 5x(x-2) = Ax + Bx-2
Igualando numeradores:
8x + 5 = A(x-2) + Bx = (A+B)x - 2A,
logo temos A + B = 8 e -2A = 5. Assim A = -52 e B = 212.

Passo 3

Substituindo na integral, fica:
integral 2x^3 + 5x^2 - 2x ,dx = integral l(2x + 4 - 5/2x + 21/2x-2r) dx
Agora é só integrar termo a termo: integral 2x,dx = x^2, integral 4,dx = 4x, integral -tfrac521x,dx = -tfrac52ln|x| e integral tfrac2121x-2,dx = tfrac212ln|x-2|.

Resposta

x^2 + 4x - tfrac52 ln|x| + tfrac212 ln|x-2| + C

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