Usando substituição trigonométrica, resolva a integral
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando substituição trigonométrica. Vamos usar conhecimentos de identidades trigonométricas (
) e mudança de variável para reescrever a raiz e facilitar a integração.
Passo 2
Fazendo a substituição típica para
:
então
e
Os limites em
(de 0 a 1) viram em
:
- Se
, então e (\theta=0$. - Se
, então e .
Passo 3
Substituindo na integral:
Simplificando fatores de 4 e as potências de
:
então a integral fica
Passo 4
Para integrar
, escrevemos
. Assim:
Fazendo a troca de variável auxiliar
a integral vira um polinômio em
:
Passo 5
Agora basta expandir e integrar:
Logo
Passo 6
Voltando
e aplicando os limites
até
:
Para
(
) temos
e para
,
.
Passo 7
Substituindo e simplificando, chega-se à expressão fechada