Usando substituição trigonométrica, resolva a integral integral0^1 t^5raizt^2+16 d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 t^5raizt^2+16,dt usando substituição trigonométrica. Vamos usar conhecimentos de identidades trigonométricas ( 1+tan^2theta=sec^2theta) e mudança de variável para reescrever a raiz e facilitar a integração.

Passo 2

Fazendo a substituição típica para raizt^2+16:
t=4tantheta,
então
dt=4sec^2theta,dtheta
e
raizt^2+16=raiz16tan^2theta+16=4sectheta
Os limites em t (de 0 a 1) viram em theta:
  • Se t=0, então tantheta=0 e (\theta=0$.
  • Se - Se , então , então e e .

Passo 3

Substituindo na integral:
integral0^1 t^5raizt^2+16,dt =integraltheta=0^arctan(1/4) (4tantheta)^54secthetacdot 4sec^2theta,dtheta
Simplificando fatores de 4 e as potências de sectheta:
(4tantheta)^5=1024tan^5theta,
então a integral fica
integral0^arctan(1/4) 1024,tan^5theta,sectheta,dtheta

Passo 4

Para integrar tan^5theta,sectheta, escrevemos tan^5theta=(sec^2theta-1)^2tantheta. Assim:
integral 1024,(sec^2theta-1)^2,tantheta,sectheta,dtheta
Fazendo a troca de variável auxiliar
u=sectheta, du=secthetatantheta,dtheta,
a integral vira um polinômio em u:
integral 1024,(u^2-1)^2,du

Passo 5

Agora basta expandir e integrar:
(u^2-1)^2=u^4-2u^2+1
Logo
integral 1024,(u^4-2u^2+1),du=1024l(u^55-2u^33+ur)+C

Passo 6

Voltando u=sectheta e aplicando os limites theta=0 até theta=arctan(1/4):
F(theta)=1024l(sec^5theta5-2sec^3theta3+secthetar)
Para t=1 ( tantheta=1/4) temos
sectheta=raiz1+116=raiz174,
e para t=0, sectheta=1.

Passo 7

Substituindo e simplificando, chega-se à expressão fechada
integral0^1 t^5raizt^2+16,dt =3,17^52-160,17^32+3840,17^12-819215

Resposta

3,17^5/2-160,17^3/2+3840,17^1/2-819215

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