Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados. Esboce a região e o sólido (manuscrito e no geogebra).
Y=x^4, y=1, x=0, ao redor de y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando giramos uma região em torno de uma linha. Especificamente, a região limitada pelas curvas , e está sendo girada em torno da linha . Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (ou discos), que é perfeito para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos girando. As curvas e se intersectam quando , ou seja, quando (considerando ). E é o nosso limite à esquerda. Então, a região está entre e , de até .

Passo 3

Como estamos girando essa região em torno de , precisamos calcular o volume usando o método dos anéis. Esse método envolve integrar a diferença entre as áreas dos círculos externos e internos formados pela rotação.

Passo 4

Vamos identificar os raios dos nossos anéis:
  • Raio externo ( ): A distância da linha de rotação ( ) até a curva mais distante, que é . Então, .
  • Raio interno ( ): A distância da linha de rotação até a curva mais próxima, que é . Então, .

Passo 5

A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
V = pi integrala^b ( R^2 - r^2 ) dx
Substituindo V = pi integral0^1 ( (2 - x^4)^2 - (1)^2 ) dx e :

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
(2 - x^4)^2 = 4 - 4x^4 + x^8
(2 - x^4)^2 - 1 = 4 - 4x^4 + x^8 - 1 = 3 - 4x^4 + x^8
Então, a integral fica:
V = pi integral0^1 ( 3 - 4x^4 + x^8 ) dx

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 3 , dx = 3x |0^1 = 3(1) - 3(0) = 3
integral0^1 -4x^4 , dx = -4 cdot x^55 |0^1 = -45
integral0^1 x^8 , dx = x^99 |0^1 = 19

Passo 8

Somando as integrais:
3 - 45 + 19 = 13545 - 3645 + 545 = 10445

Passo 9

Multiplicando pelo V = pi cdot 10445 = 104pi45 :

Resposta

O volume do sólido formado é unidades cúbicas.

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