Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados. Esboce a região e o sólido (manuscrito e no geogebra). , ao redor de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando giramos uma região em torno de uma linha. Especificamente, a região limitada pelas curvas , e está sendo girada em torno da linha . Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (ou discos), que é perfeito para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos girando. As curvas e se intersectam quando , ou seja, quando (considerando ). E é o nosso limite à esquerda. Então, a região está entre e , de até .
Passo 3
Como estamos girando essa região em torno de , precisamos calcular o volume usando o método dos anéis. Esse método envolve integrar a diferença entre as áreas dos círculos externos e internos formados pela rotação.
Passo 4
Vamos identificar os raios dos nossos anéis:
Raio externo (): A distância da linha de rotação () até a curva mais distante, que é . Então, .
Raio interno (): A distância da linha de rotação até a curva mais próxima, que é . Então, .
Passo 5
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Substituindo e :
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral: