Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule:
© cos (arctg x)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar cos(arctan x), ou seja, expressar essa composição de uma função trigonométrica com sua inversa numa forma mais direta usando conceitos de trigonometria e um triângulo retângulo.

Passo 2

Seja theta = arctan x. Por definição de arco-tangente, temos tantheta = x. Isso significa que em um triângulo retângulo que define theta, a razão entre cateto oposto e cateto adjacente é x. No triângulo retângulo, podemos escolher o cateto oposto como x e o cateto adjacente como 1. A hipotenusa vem então do Teorema de Pitágoras:
hipotenusa = raiz(cateto adj)^2 + (cateto oposto)^2 = raiz1^2 + x^2 = raiz1 + x^2

Passo 3

Agora, costheta é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
costheta = cateto adjacentehipotenusa = 1raiz1 + x^2 Como theta = arctan x, concluímos que cos(arctan x) = costheta = 1raiz1 + x^2.

Resposta

1raiz1 + x^2

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