(a) Usando integração parcial direta mostre que a solução geral para a EDP
u_{x y}=x^{2} \mathrm{y}, \quad(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathbb{R}^{2}
Pode ser escrita da forma u(x, y)=\frac{1}{6} x^{3} y^{2}+A(x)+B(y), em que A e B são funções de uma única variável.
(b) Usando a solução geral do item (a), resolva o problema de valores de contorno
\begin{gathered} u_{x y}=x^{2} y, \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \\\ u(x, 0)=x^{2}, \quad x \in \mathbb{R} \\\ u(1, y)=\cos (y), \quad y \in \mathbb{R} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação parcial
u_{x y}=x^{2}y,\qquad (x,y)\in\mathbb{R}^2
e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar, por integração parcial direta, que a solução geral pode ser escrita como
u(x,y)=\tfrac{1}{6}x^{3}y^{2}+A(x)+B(y),
onde A e B são funções de uma única variável;
  • (b) Usando essa forma geral, resolver o problema de contorno
u(x,0)=x^{2},\quad x\in\mathbb{R},
u(1,y)=\cos(y),\quad y\in\mathbb{R}.
As informações relevantes: a equação mista u_{xy} dada e as duas condições de contorno (uma sobre a reta y=0 e outra sobre a reta x=1). Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Conceito básico (muito importante antes de integrar): se uma função u(x,y) satisfaz \partial^{2}u/(\partial x\partial y)=g(x,y), então ao integrar essa derivada parcial respectiva em relação a uma das variáveis, a “constante” de integração pode depender da outra variável.
Explicando com palavras: ao integrar respectiva a x temos que tratar y como constante, portanto a constante de integração pode ser uma função de y. Analogamente, ao integrar em y aparece uma “constante” que pode depender de x.
Aplicando isso: partimos de
u_{x y}=x^{2}y.
Integramos em relação a x mantendo y fixo. Calculamos a primitiva de x^{2}y em x:
\int x^{2}y\,dx = y\int x^{2}\,dx = y\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{1}{3}x^{3}y.
Como a constante de integração pode depender de y, obtemos
u_{y}=\frac{1}{3}x^{3}y+C_{1}(y),
onde C_{1}(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora integramos a expressão de u_{y} em relação a y (tratando x como constante). Primeiro a integral da parte \tfrac{1}{3}x^{3}y em y:
\int \frac{1}{3}x^{3}y\,dy=\frac{1}{3}x^{3}\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}.
A integral da função C_{1}(y) é uma outra função de y; denote-a por B(y):
\int C_{1}(y)\,dy = B(y).
Ao integrar em y aparece ainda uma “constante” de integração que pode depender de x; denote-a por A(x). Portanto
u(x,y)=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+B(y)+A(x).
Renomeando B(y) e A(x) numa ordem habitual, obtemos exatamente a forma pedida:
u(x,y)=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+A(x)+B(y).
Isto resolve a parte (a). Aqui A(x) é qualquer função de x e B(y) é qualquer função de y; elas representam as “constantes” de integração apropriadas.

Passo 4

Agora resolvemos o problema de contorno usando a forma geral. Começamos impondo y=0 em
u(x,y)=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+A(x)+B(y).
Isso dá
u(x,0)=A(x)+B(0)=x^{2}.
Aqui B(0) é um número fixo (constante). Assim:
A(x)=x^{2}-B(0). \tag{1}
Em seguida, impondo x=1:
u(1,y)=\frac{1}{6}\cdot 1^{3}y^{2}+A(1)+B(y)=\frac{1}{6}y^{2}+A(1)+B(y)=\cos(y).
Isolando B(y) obtemos
B(y)=\cos(y)-\frac{1}{6}y^{2}-A(1). \tag{2}

Passo 5

Usamos (2) para calcular B(0) e então voltar em (1). Avaliando (2) em y=0:
B(0)=\cos(0)-\frac{1}{6}\cdot 0^{2}-A(1)=1-A(1).
Substituindo em (1):
A(x)=x^{2}-B(0)=x^{2}-(1-A(1))=x^{2}-1+A(1).
Agora substituímos A(x) e B(y) na expressão geral de u:
u(x,y)=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+\bigl(x^{2}-1+A(1)\bigr)+\bigl(\cos(y)-\tfrac{1}{6}y^{2}-A(1)\bigr).
Note que A(1) aparece com sinais opostos e se cancela. Simplificando os termos constantes:
u(x,y)=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}-\frac{1}{6}y^{2}+x^{2}+\cos(y)-1.
Agrupando o termo com y^{2} fica mais compacto:
u(x,y)=\frac{1}{6}\bigl(x^{3}-1\bigr)y^{2}+x^{2}+\cos(y)-1.

Passo 6

Verificação rápida (é sempre bom checar na prova): calcular u_{x y} a partir da solução encontrada.
Primeiro u_{x}=\frac{1}{6}\cdot 3x^{2}y^{2}+2x+0=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+2x. Agora derivando em y:
u_{x y}=\frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y= x^{2}y,
que é justamente a equação dada. Verificar as condições de contorno:
u(x,0)=0+x^{2}+\cos(0)-1=x^{2},
u(1,y)=\frac{1}{6}(1-1)y^{2}+1+\cos(y)-1=\cos(y).
Tudo confere.

Resposta

u(x,y)=\dfrac{1}{6}x^{3}y^{2}+A(x)+B(y)
u(x,y)=\dfrac{1}{6}\bigl(x^{3}-1\bigr)y^{2}+x^{2}+\cos(y)-1

Exercícios relacionados