Pode ser escrita da forma u(x, y)=\frac{1}{6} x^{3} y^{2}+A(x)+B(y), em que A e B são funções de uma única variável.
(b) Usando a solução geral do item (a), resolva o problema de valores de contorno
\begin{gathered} u_{x y}=x^{2} y, \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \\\ u(x, 0)=x^{2}, \quad x \in \mathbb{R} \\\ u(1, y)=\cos (y), \quad y \in \mathbb{R} \end{gathered}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação parcial
u_{x y}=x^{2}y,\qquad (x,y)\in\mathbb{R}^2
e pede duas coisas:
(a) Mostrar, por integração parcial direta, que a solução geral pode ser escrita como
u(x,y)=\tfrac{1}{6}x^{3}y^{2}+A(x)+B(y),
onde A e B são funções de uma única variável;
(b) Usando essa forma geral, resolver o problema de contorno
u(x,0)=x^{2},\quad x\in\mathbb{R},
u(1,y)=\cos(y),\quad y\in\mathbb{R}.
As informações relevantes: a equação mista u_{xy} dada e as duas condições de contorno (uma sobre a reta y=0 e outra sobre a reta x=1). Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Conceito básico (muito importante antes de integrar): se uma função u(x,y) satisfaz \partial^{2}u/(\partial x\partial y)=g(x,y), então ao integrar essa derivada parcial respectiva em relação a uma das variáveis, a “constante” de integração pode depender da outra variável.
Explicando com palavras: ao integrar respectiva a x temos que tratar y como constante, portanto a constante de integração pode ser uma função de y. Analogamente, ao integrar em y aparece uma “constante” que pode depender de x.
Aplicando isso: partimos de
u_{x y}=x^{2}y.
Integramos em relação a x mantendo y fixo. Calculamos a primitiva de x^{2}y em x: