Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
\int(-3 x+1) \operatorname{sen} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int(-3 x+1)\,\operatorname{sen}3x\,dx,
ou seja, encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(x)=(-3x+1)\operatorname{sen}3x. As informações dadas são:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é o produto de um polinômio linear (-3x+1) por uma função trigonométrica \operatorname{sen}3x.
  • O enunciado solicita explicitamente usar integração por partes.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula e o raciocínio da integração por partes de forma bem didática.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde:
  • u e v são funções de x,
  • du é a diferencial de u, isto é du = u'(x)\,dx,
  • dv é a parte restante do integrando e v é uma primitiva de dv, isto é v = \int dv.
Como escolher u e dv? Uma regra prática (muito usada) é escolher u como a parte que fica mais simples quando derivada (por exemplo polinômios) e dv como a parte que é fácil de integrar (por exemplo funções trigonométricas). Aqui temos um polinômio (-3x+1) multiplicando uma senoide \operatorname{sen}3x, então faz sentido escolher u como o polinômio e dv como \operatorname{sen}3x\,dx.

Passo 3

Fazendo a escolha conforme explicado:
u = -3x+1,\qquad dv = \operatorname{sen}3x\,dx.
Agora calculamos du e v.
Derivando u:
du = u'(x)\,dx = (-3)\,dx.
Para achar v precisamos integrar dv:
v=\int \operatorname{sen}3x\,dx.
Para integrar \operatorname{sen}3x usamos uma substituição simples: seja t=3x, então dt=3\,dx e dx=\tfrac{1}{3}dt. Assim
\int \operatorname{sen}3x\,dx = \int \sin t\cdot \tfrac{1}{3}\,dt = \tfrac{1}{3}\int \sin t\,dt = -\tfrac{1}{3}\cos t + C = -\tfrac{1}{3}\cos(3x)+C.
Portanto podemos tomar
v = -\tfrac{1}{3}\cos(3x).

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du:
\int (-3x+1)\operatorname{sen}3x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
u v = (-3x+1)\left(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\right).
Vamos simplificar u v:
(-3x+1)\left(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\right) = \left(-\tfrac{1}{3}\right)(-3x+1)\cos(3x) = \bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)\cos(3x).

Passo 5

Agora calculamos \int v\,du:
\int v\,du = \int \left(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\right)\cdot(-3)\,dx.
Multiplicando as constantes:
\left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot(-3)=1,
logo
\int v\,du = \int \cos(3x)\,dx.
Integrando \cos(3x) por substituição semelhante à anterior ( t=3x, dx=\tfrac{1}{3}dt):
\int \cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{3}\sin(3x).

Passo 6

Reunindo os resultados pela fórmula de integração por partes:
\int (-3x+1)\operatorname{sen}3x\,dx = \bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)\cos(3x) - \tfrac{1}{3}\sin(3x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\bigl(x-\tfrac{1}{3}\bigr)\cos(3x)-\tfrac{1}{3}\sin(3x)+C

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