Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
ou seja, encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
. As informações dadas são:
- A variável de integração é
. - O integrando é o produto de um polinômio linear
por uma função trigonométrica . - O enunciado solicita explicitamente usar integração por partes.
Passo 2
Vou lembrar a fórmula e o raciocínio da integração por partes de forma bem didática.
A fórmula de integração por partes é
onde:
-
e são funções de , -
é a diferencial de , isto é , -
é a parte restante do integrando e é uma primitiva de , isto é .
Como escolher
e
? Uma regra prática (muito usada) é escolher
como a parte que fica mais simples quando derivada (por exemplo polinômios) e
como a parte que é fácil de integrar (por exemplo funções trigonométricas). Aqui temos um polinômio
multiplicando uma senoide
, então faz sentido escolher
como o polinômio e
como
.
Passo 3
Fazendo a escolha conforme explicado:
Agora calculamos
e
.
Derivando
:
Para achar
precisamos integrar
:
Para integrar
usamos uma substituição simples: seja
, então
e
. Assim
Portanto podemos tomar
Passo 4
Aplicando a fórmula
:
Substituindo
,
e
:
Vamos simplificar
:
Passo 5
Agora calculamos
:
Multiplicando as constantes:
logo
Integrando
por substituição semelhante à anterior (
,
):
Passo 6
Reunindo os resultados pela fórmula de integração por partes:
onde
é a constante de integração.