Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
\int \frac{\ln x}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln x}{x}\,dx.
Informações importantes que temos:
  • A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
  • O integrando é \dfrac{\ln x}{x}, que está definido para x>0 (vou trabalhar nesse domínio).
  • O enunciado pede explicitamente para usar integração por partes.

Passo 2

Lembrete (aulas rápidas): a fórmula de integração por partes vem da regra do produto na diferenciação. Para duas funções u(x) e v(x) dizemos que
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos (e então calculamos du),
  • dv é a outra parte do integrando (e então integramos para obter v).
    A escolha de u e dv deve facilitar a integral \int v\,du. Uma dica prática: escolha u de modo que sua derivada seja mais simples.

Passo 3

Escolha para este problema (motivação clara e simples):
  • Escolher u = \ln x porque sua derivada é simples ( \dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}).
  • Então o resto do integrando é dv = \dfrac{1}{x}\,dx.
    Assim estamos de fato escrevendo
\frac{\ln x}{x}\,dx = u\,dv.

Passo 4

Calcular du e v:
  • Derivando u: \,du = \dfrac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv: \;v = \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x.
    Observação: aqui usamos o fato de que estamos com x>0, então \ln x é bem definido.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
Defina I=\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx. Pelo passo anterior,
I = \int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo u=\ln x, v=\ln x e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
I = (\ln x)(\ln x) - \int (\ln x)\left(\frac{1}{x}\,dx\right).
Portanto
I = (\ln x)^2 - \int \frac{\ln x}{x}\,dx.
Repare que a integral à direita é exatamente I. Assim temos uma equação simples para I:
I = (\ln x)^2 - I.

Passo 6

Resolver a equação para I:
Somando I aos dois lados,
2I = (\ln x)^2.
Logo
I = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Verificação rápida (para você se sentir confiante): derivando a primitiva encontrada
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}(\ln x)^2\right] = \frac{1}{2}\cdot 2(\ln x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{\ln x}{x},
que é o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C

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