Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes que temos:
- A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
- O integrando é
, que está definido para (vou trabalhar nesse domínio). - O enunciado pede explicitamente para usar integração por partes.
Passo 2
Lembrete (aulas rápidas): a fórmula de integração por partes vem da regra do produto na diferenciação. Para duas funções
e
dizemos que
Aqui:
-
é uma função que escolhemos (e então calculamos ), -
é a outra parte do integrando (e então integramos para obter ).
A escolha dee deve facilitar a integral . Uma dica prática: escolha de modo que sua derivada seja mais simples.
Passo 3
Escolha para este problema (motivação clara e simples):
- Escolher
porque sua derivada é simples ( ). - Então o resto do integrando é
.
Assim estamos de fato escrevendo
Passo 4
Calcular
e
:
- Derivando
: - Integrando
:
Observação: aqui usamos o fato de que estamos com, então é bem definido.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Defina . Pelo passo anterior,
Defina
Substituindo
,
e
, obtemos
Portanto
Repare que a integral à direita é exatamente
. Assim temos uma equação simples para
:
Passo 6
Resolver a equação para
:
Somando aos dois lados,
Somando
Logo
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Verificação rápida (para você se sentir confiante): derivando a primitiva encontrada
que é o integrando original. Portanto a primitiva está correta.