Usando integrais calcule o volume do cilindro de raio 1 cujo a base está localizada no plano e sua altura máxima ocorre em . Esboce a região e descreva a variação de cada parâmetro da integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de um cilindro de raio 1 cuja base está no plano xy (ou seja, em z=0) e cuja altura vai até z=2. Vamos usar integrais triplas e coordenadas cilíndricas, já que o cilindro tem simetria radial.
Passo 2
Em x–y, a base é o disco de raio 1 dado por . Extrudando esse disco de z=0 até z=2 obtemos o cilindro. Se fôssemos esboçar, desenharíamos um círculo de raio 1 no plano xy e, a partir daí, traçaríamos retas verticais até z=2.
Como o cilindro é simétrico em torno do eixo z, escolhemos coordenadas cilíndricas . As variáveis variam assim:
Passo 3
O volume será dado pela integral triplas do elemento de volume . Montando:
Passo 4
Agora vamos calcular passo a passo: primeiro integramos em z, mantendo r e fixos,