Usando integrais calcule o volume do cilindro de raio 1 cujo a base está localizada no plano xy e sua altura máxima ocorre em z=2. Esboce a região e descreva a variação de cada parâmetro da integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de um cilindro de raio 1 cuja base está no plano xy (ou seja, em z=0) e cuja altura vai até z=2. Vamos usar integrais triplas e coordenadas cilíndricas, já que o cilindro tem simetria radial.

Passo 2

Em x–y, a base é o disco de raio 1 dado por x^2 + y^2 <= 1. Extrudando esse disco de z=0 até z=2 obtemos o cilindro. Se fôssemos esboçar, desenharíamos um círculo de raio 1 no plano xy e, a partir daí, traçaríamos retas verticais até z=2.
Como o cilindro é simétrico em torno do eixo z, escolhemos coordenadas cilíndricas (r,theta,z). As variáveis variam assim:
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 2

Passo 3

O volume será dado pela integral triplas do elemento de volume dV = r,dz,dr,dtheta. Montando:
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=0^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Agora vamos calcular passo a passo: primeiro integramos em z, mantendo r e theta fixos,
integralz=0^2 r,dz = rl[zr]0^2 = 2r

Passo 5

Depois integramos em r:
integralr=0^1 2r,dr = 2 cdot r^22|0^1 = 1

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 1,dtheta = 2pi

Resposta

2pi

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