(2,5 pontos) Calcular \iiint_{T} x d V, sendo T a região delimitada por x^{2}+(y-3)^{2}+(z-2)^{2}=9.
Sugestão: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula \iiint_{T} f(x, y, z) d V=\iiint_{T^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, 3+\rho \sin \varphi \sin \theta, 2+\rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta.
“Eis como será abençoada a pessoa que teme o SENHOR!”

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{T} x\,dV,
onde T é a bola de raio 3 centrada em (0,3,2). O conteúdo é integração em uma região tridimensional, e podemos usar simetria ou coordenadas esféricas (com deslocamento) para simplificar.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis para recentrar a bola na origem. Definimos
u = x,\quad v = y-3,\quad w = z-2.
Então T vira
T' = \{(u,v,w)\mid u^2+v^2+w^2\le 3^2\},
e a integral se transforma em
\iiint_{T} x\,dV = \iiint_{T'} u\,du\,dv\,dw,
pois x=u e dV=du\,dv\,dw.

Passo 3

Agora passamos a coordenadas esféricas em (u,v,w):
u = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad v = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad w = \rho\cos\varphi,
com \rho\in[0,3], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi], e
du\,dv\,dw = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo
\iiint_{T'} u\,du\,dv\,dw = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{3} \bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\,\rho^2\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

No integrando aparece \cos\theta. Como
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,
toda a integral tripla se anula. Assim
\iiint_{T} x\,dV = 0.

Resposta

0

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