(2,5 pontos) Calcular
, sendo
a região delimitada por
.
Sugestão: Fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas através da fórmula
.
“Eis como será abençoada a pessoa que teme o SENHOR!”
“Eis como será abençoada a pessoa que teme o SENHOR!”
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a bola de raio
centrada em
. O conteúdo é integração em uma região tridimensional, e podemos usar simetria ou coordenadas esféricas (com deslocamento) para simplificar.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis para recentrar a bola na origem. Definimos
Então
vira
e a integral se transforma em
pois
e
.
Passo 3
Agora passamos a coordenadas esféricas em
:
com
,
,
, e
Logo
Passo 4
No integrando aparece
. Como
toda a integral tripla se anula. Assim