Usando integrais triplas, prove que o volume de um cilindro equilátero é
V=2 \pi R^{3}
lembrando que um cilindro equilátero é aquele em que h=2 R.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cilindro equilátero, ou seja, um cilindro de raio R e altura h=2R, usando integrais triplas. O conteúdo necessário é a integral de volume em coordenadas cilíndricas, onde o elemento de volume é \mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), o cilindro de raio R e altura 2R é descrito por
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le R,\quad -R \le z \le R.
Portanto, o volume é
V = \iiint_{\text{cilindro}} \mathrm{d}V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{R} \int_{z=-R}^{R} r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Começamos integrando em z, pois o integrando não depende de z:
\int_{z=-R}^{R} r\,\mathrm{d}z = r \Bigl[z\Bigr]_{z=-R}^{R} = r\,(R - (-R)) = 2R\,r.
Logo a integral fica
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} 2R\,r \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{r=0}^{R} 2R\,r \,\mathrm{d}r = 2R \int_{0}^{R} r\,\mathrm{d}r = 2R \cdot \frac{R^{2}}{2} = R^{3}.
Assim
V = \int_{0}^{2\pi} R^{3} \,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Finalmente integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} R^{3}\,\mathrm{d}\theta = R^{3} \Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi R^{3}.

Resposta

V = 2\pi R^{3}.

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