Usando integrais triplas, mostre que o volume de uma cunha de esfera é
V=\frac{2}{3} \alpha R^{3}
onde \alpha é o ângulo de abertura da cunha.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma cunha de esfera de raio R e ângulo de abertura \alpha. O conteúdo envolve uso de coordenadas esféricas e a fórmula do elemento de volume em esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, cada ponto é dado por (\rho,\theta,\varphi), onde \rho é a distância à origem, \theta é o ângulo polar (de 0 a \pi), \varphi é o ângulo azimutal (de 0 a 2\pi normalmente).
A cunha de abertura \alpha corresponde a restringir \varphi de 0 até \alpha, mantendo \rho\in[0,R] e \theta\in[0,\pi].

Passo 3

O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV \;=\;\rho^{2}\sin\theta\;d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Portanto o volume da cunha é
V \;=\;\int_{\varphi=0}^{\alpha}\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{\rho=0}^{R} \rho^{2}\sin\theta\;d\rho\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Calcule primeiro a integral sobre \rho:
\int_{0}^{R}\rho^{2}\,d\rho =\biggl[\frac{\rho^{3}}{3}\biggr]_{0}^{R} =\frac{R^{3}}{3}.
Em seguida a integral sobre \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta =\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi} =2.

Passo 5

Por fim a integral sobre \varphi é imediata:
\int_{0}^{\alpha}d\varphi =\alpha.

Passo 6

Juntando tudo:
V =\Bigl(\frac{R^{3}}{3}\Bigr)\times 2\times \alpha =\frac{2}{3}\,\alpha\,R^{3}.

Resposta

V=\frac{2}{3}\,\alpha\,R^{3}.

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