Usando integrais triplas, mostre que o volume de uma cunha de esfera é
onde
é o ângulo de abertura da cunha.
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma cunha de esfera de raio
e ângulo de abertura
. O conteúdo envolve uso de coordenadas esféricas e a fórmula do elemento de volume em esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, cada ponto é dado por
, onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar (de
a
),
é o ângulo azimutal (de
a
normalmente).
A cunha de abertura corresponde a restringir
de
até
, mantendo
e
.
A cunha de abertura
Passo 3
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Portanto o volume da cunha é
Passo 4
Calcule primeiro a integral sobre
:
Em seguida a integral sobre
:
Passo 5
Por fim a integral sobre
é imediata:
Passo 6
Juntando tudo: