Seja C a curva parametrizada por r(t)=(\cos t, \sin t, 1-2 \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi. Determine:
(a) O vetor r^{\prime}(t);
(b) A equação da reta tangente à curva no ponto P=(-1,0,1);
(c) O versor tangente;
e pede:
(a) o vetor derivada r'(t);
(b) a equação da reta tangente à curva no ponto P = (-1,0,1);
(c) o versor (vetor unitário) tangente.
Vamos usar derivação componente a componente, identificação do parâmetro que gera P, fórmula da reta tangente e normalização de vetor.
Passo 2
Para encontrar r'(t) derivamos cada componente de \bigl(\cos t,\;\sin t,\;1 - 2\sin t\bigr).
Derivando: \frac{d}{dt}[\cos t] = -\sin t, \frac{d}{dt}[\sin t] = \cos t, \frac{d}{dt}[1 - 2\sin t] = -2\cos t.
Logo
r'(t) = \bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-2\cos t\bigr).
Passo 3
O ponto P=(-1,0,1) ocorre quando \cos t_0 = -1 e \sin t_0 = 0, ou seja t_0 = \pi.
Calculando