Seja C a curva parametrizada por r(t)=(\cos t, \sin t, 1-2 \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi. Determine:
(a) O vetor r^{\prime}(t);
(b) A equação da reta tangente à curva no ponto P=(-1,0,1);
(c) O versor tangente;

Passo 1

O enunciado trata de uma curva parametrizada
r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;1 - 2\sin t),\quad 0 \le t \le 2\pi
e pede:
(a) o vetor derivada r'(t);
(b) a equação da reta tangente à curva no ponto P = (-1,0,1);
(c) o versor (vetor unitário) tangente.
Vamos usar derivação componente a componente, identificação do parâmetro que gera P, fórmula da reta tangente e normalização de vetor.

Passo 2

Para encontrar r'(t) derivamos cada componente de \bigl(\cos t,\;\sin t,\;1 - 2\sin t\bigr).
Derivando: \frac{d}{dt}[\cos t] = -\sin t, \frac{d}{dt}[\sin t] = \cos t, \frac{d}{dt}[1 - 2\sin t] = -2\cos t.
Logo
r'(t) = \bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-2\cos t\bigr).

Passo 3

O ponto P=(-1,0,1) ocorre quando \cos t_0 = -1 e \sin t_0 = 0, ou seja t_0 = \pi.
Calculando
r'(\pi) = \bigl(-\sin\pi,\;\cos\pi,\;-2\cos\pi\bigr) = (0,\,-1,\;2).
A reta tangente no ponto P tem equação paramétrica
\ell(s) = P + s\,r'(\pi) = (-1,0,1) + s\,(0,-1,2),
ou seja
\ell(s) = \bigl(-1,\,-s,\;1+2s\bigr).

Passo 4

O versor tangente geral é
\mathbf{T}(t) = \frac{r'(t)}{\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert}, \quad \bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (-2\cos t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + 5\cos^2 t}.
Em t_0 = \pi temos \lVert r'(\pi)\rVert = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5},
portanto o versor tangente em P é
\mathbf{T}(\pi) = \frac{1}{\sqrt{5}}\,(0,-1,2).

Resposta

(a) r'(t) = \bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-2\cos t\bigr).
(b) \ell(s) = (-1,0,1) + s\,(0,-1,2), ou \ell(s) = (-1,\,-s,\;1+2s).
(c) \mathbf{T}(t) = \dfrac{r'(t)}{\sqrt{\sin^2 t + 5\cos^2 t}}, em particular \mathbf{T}(\pi) = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\,(0,-1,2).

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