Nos exercícios abaixo, calcule os limites:
lim x 2 x^3-5 x^2+8 x-4x^3-7 x^2+16 x-12

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto2x^3-5x^2+8x-4x^3-7x^2+16x-12
O conteúdo é limite de função racional que, ao substituir x=2, dá forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta em numerador e denominador:
num = 2^3-5cdot2^2+8cdot2-4 = 8 -20 +16 -4 = 0,
den = 2^3-7cdot2^2+16cdot2-12 = 8 -28 +32 -12 = 0
Como obtivemos 0/0, é indeterminado e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatorando o numerador por divisão sintética ou agrupamento, obtemos
x^3-5x^2+8x-4 = (x-2)^2(x-1)

Passo 4

Fatorando o denominador da mesma forma, achamos
x^3-7x^2+16x-12 = (x-2)^2(x-3)

Passo 5

Substituindo essas fatorações na fração, cancelamos o fator comum (x-2)^2:
(x-2)^2(x-1)(x-2)^2(x-3) = x-1x-3
Agora o limite passa a ser
limxto2x-1x-3 = 2-12-3 = 1-1 = -1

Resposta

-1

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