Usando integral dupla, calcule o volume do sólido (ou conjunto) dado.
Tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano z=5-2 x-y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano
z = 5 - 2x - y
Vamos usar integral dupla projetando o sólido sobre o plano xy, onde a altura em cada ponto (x,y) é z=5-2x-y.

Passo 2

Para ter z>=0 precisamos de
5 - 2x - y >= 0 Longrightarrow y <= 5 - 2x
Juntamente com x>=0 e y>=0, a região de projeção D no plano xy é
D = l(x,y)mid 0<= x<= tfrac52,;0<= y<= 5-2xr

Passo 3

Escrevemos a integral dupla para o volume:
V = integral duplaD (5 - 2x - y),dA = integralx=0^5/2integraly=0^5-2xl(5 - 2x - yr),dy,dx

Passo 4

Primeiro calculamos a integral interna em y:
integral0^5-2x(5 - 2x - y),dy = l[(5-2x),y - tfracy^22r]0^5-2x = (5-2x)^2 - tfrac(5-2x)^22 = tfrac12(5-2x)^2

Passo 5

Agora a integral em x:
V = integral0^5/2 tfrac12(5-2x)^2,dx
Fazendo a substituição u=5-2x, du=-2,dx, vai de u=5 a u=0, obtemos
V = integral5^0tfrac12u^2;l(-tfracdu2r) = tfrac14integral0^5u^2,du = tfrac14cdottfrac5^33 = tfrac12512

Resposta

O volume do tetraedro é 12512.

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