Usando integral dupla, calcule o volume do sólido (ou conjunto) dado.
Tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
.
Tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
Vamos usar integral dupla projetando o sólido sobre o plano
, onde a altura em cada ponto
é
.
Passo 2
Para ter
precisamos de
Juntamente com
e
, a região de projeção
no plano
é
Passo 3
Escrevemos a integral dupla para o volume:
Passo 4
Primeiro calculamos a integral interna em
:
Passo 5
Agora a integral em
:
Fazendo a substituição
,
, vai de
a
, obtemos
Resposta
O volume do tetraedro é
.