Usando integral tripla calcule o volume do sólido S em R^3 dado por
S=(x, y, z) ; 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 4 x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
S=(x,y,z)in R^3 mid 4<= x^2+y^2+z^2<= 4x
O conteúdo principal é usar integral tripla ou um argumento geométrico para volumes de bolas e interseção de bolas.

Passo 2

Completemos o quadrado na segunda desigualdade:
x^2+y^2+z^2<= 4x iff x^2-4x+4+y^2+z^2<= 4 iff (x-2)^2+y^2+z^2<=4
Assim S é o conjunto dos pontos que estão por fora da bola de raio 2 centrada na origem (pois x^2+y^2+z^2>=4) e por dentro da bola de raio 2 centrada em (2,0,0).

Passo 3

Chamemos
B1=x^2+y^2+z^2<=4, B2=(x-2)^2+y^2+z^2<=4
Então
S = B2setminus B1
e
Vol(S)=Vol(B2)-Vol(B1cap B2)
Como B1 e B2 são bolas de mesmo raio R=2 e centros a distância d=2, usaremos a fórmula da interseção de duas bolas idênticas.

Passo 4

A interseção de duas bolas de raio R com centros a distância d<=2R tem volume
Vrm <=nte =pi,(2R-d)^2(4R+d)12
Aqui R=2, d=2, então
2R-d=4-2=2, 4R+d=8+2=10 Longrightarrow Vrm <=nte =picdot 2^2cdot1012 =40pi12 =10pi3

Passo 5

O volume da bola B2 é
Vol(B2)=43pi R^3 =43picdot 2^3 =32pi3
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Vol(S) =32pi3-10pi3 =22pi3

Resposta

22pi3

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