Ache as soluções particulares das equações seguintes correspondendo às condições iniciais ou de contorno dadas.
x^prime prime-2 x^prime+10 x=9 e^t, x(0)=3, x^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
x'' - 2x' + 10x = 9e^t
com condições iniciais x(0)=3 e x'(0)=0.
Conteúdo: equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) encontrar uma solução particular para o termo 9e^t e (3) usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
x'' - 2x' + 10x = 0
assumimos xh = e^rt. O polinômio característico é
r^2 - 2r + 10 = 0
que tem raízes
r = 2 pm raiz4 - 402 = 1 pm 3i
Logo a solução geral da homogênea é
xh(t) = e^tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r)

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
xp(t) = A e^t
Calculando derivadas:
xp' = A e^t, xp''=A e^t
Substituindo na equação:
A e^t - 2A e^t + 10A e^t = 9e^t Longrightarrow (1 - 2 + 10)A e^t = 9e^t Longrightarrow 9A = 9 Longrightarrow A = 1
Portanto
xp(t) = e^t

Passo 4

A solução geral é
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r) + e^t = e^tl(C1cos(3t) + C2sin(3t) + 1r)
Calculamos x'(t):
x'(t) = e^tl(C1cos3t + C2sin3t +1r) + e^tl(-3C1sin3t + 3C2cos3tr) = e^tl(C1(cos3t -3sin3t) + C2(sin3t +3cos3t) +1r)
Usando t=0:
x(0) = e^0l(C1cdot1 + C2cdot0 +1r) = C1 +1 = 3 Longrightarrow C1 = 2
x'(0) = e^0l(C1cdot1 + C2cdot3 +1r) = C1 + 3C2 +1 = 0 Longrightarrow 2 + 3C2 +1 = 0 Longrightarrow 3C2 = -3 Longrightarrow C2 = -1

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é
boxedx(t) = e^tl(2cos(3t) - sin(3t) + 1r)

Exercícios relacionados