Usando integral tripla, calcule o volume.
Do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano , onde e .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano , com e .
O conteúdo é volume via integral tripla, que aqui podemos reduzir a uma integral dupla sobre a projeção no plano , depois usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A projeção desse sólido no plano é o disco
O volume é
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com r de 0 a R=raiztfracba e theta de 0 a 2pi. Logo
V = integral0^2pi!integral0^Rl(b - a r^2r),r,dr,dtheta
Passo 4
Primeiro integramos em r:
integral0^Rl(b - a r^2r),r,dr = integral0^Rl(b r - a r^3r),dr = [b,r^22 - a,r^44]0^R = b,R^22 - a,R^44
Passo 5
Agora integramos em theta e substituímos R^2 = tfracba:
V = integral0^2pi!l(b,R^22 - a,R^44r),dtheta = 2pi l(b,R^22 - a,R^44r)