Usando integral tripla, calcule o volume.
Do sólido limitado pelo parabolóide z=a(x^2+y^2) e pelo plano z=b, onde a>0 e b>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo parabolóide z = al(x^2 + y^2r) e pelo plano z = b, com a>0 e b>0.
O conteúdo é volume via integral tripla, que aqui podemos reduzir a uma integral dupla sobre a projeção no plano xy, depois usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A projeção desse sólido no plano xy é o disco
D = (x,y)mid a(x^2+y^2)<= bLongrightarrow x^2+y^2<= ba
O volume é
V = integral duplaDl(underbraceztopb-underbracezbota(x^2+y^2)r),dA =integral duplaDl(b - a(x^2+y^2)r),dA

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com r de 0 a R=raiztfracba e theta de 0 a 2pi. Logo
V = integral0^2pi!integral0^Rl(b - a r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^Rl(b - a r^2r),r,dr = integral0^Rl(b r - a r^3r),dr = [b,r^22 - a,r^44]0^R = b,R^22 - a,R^44

Passo 5

Agora integramos em theta e substituímos R^2 = tfracba:
V = integral0^2pi!l(b,R^22 - a,R^44r),dtheta = 2pi l(b,R^22 - a,R^44r)
Como R^2 = tfracba e R^4 = tfracb^2a^2, temos
b,R^22 = b2,ba = b^22a, a,R^44 = a4,b^2a^2 = b^24a,
então
V = 2pi l(b^22a - b^24ar) = 2pi ,b^24a = pi,b^22a

Resposta

O volume do sólido é
boxedV = pi,b^22a

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