1. Responda, com argumentos, se no ponto em que x=1 / 2, a função F(x)=integral0^2 x^2 sen(3 t) d t está crescendo ou decrescendo.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=integral0^2x^2sin(3t),dt
e pergunta se, no ponto em que x=tfrac12, a função está crescendo ou decrescendo.
Para responder, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) junto com a regra da cadeia, pois o limite superior da integral é uma função de x.

Passo 2

Pelo TFC, se
G(x)=integral0^u(x)f(t),dt,
então
G'(x)=fl(u(x)r),u'(x)
Aqui temos u(x)=2x^2 e f(t)=sin(3t). Logo
F'(x)=sinl(3,u(x)r),u'(x)

Passo 3

Primeiro calculamos
u'(x)=ddx(2x^2)=4x,
e substituímos u(x)=2x^2 em f:
fl(u(x)r)=sinl(3cdot2x^2r)=sin(6x^2)
Portanto
F'(x)=4x;sinl(6x^2r)

Passo 4

Agora avaliamos em x=tfrac12:
4xl|x=tfrac12=4cdottfrac12=2,
6x^2l|x=tfrac12=6cdotl(tfrac12r)^2=6cdottfrac14=tfrac32
Logo
F'l(tfrac12r) =2;sin!l(tfrac32r)
Como sinl(tfrac32r) é positivo (aprox.\ 0,997), temos F'l(tfrac12r)>0.

Passo 5

Derivada positiva significa que F está crescendo no ponto considerado.

Resposta

A função está crescendo em x=tfrac12.

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