Usando Laplace, resolva os PVIs abaixo:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=12 t, y(0)=4, y^{\prime}(0)=1,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' + y = 12\,t,\quad y(0)=4,\;y'(0)=1
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), onde Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s).

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de y''-2y'+y=12t e substituindo y(0)=4, y'(0)=1, temos
\bigl(s^2Y(s)-4s-1\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-4\bigr)\;+\;Y(s) \;=\;\frac{12}{s^2}.
Agora somamos e agrupamos os termos em Y(s).

Passo 3

Reunindo os coeficientes de Y(s) e isolando, obtemos
(s^2-2s+1)\,Y(s)\;-\;4s-1+8 \;=\;\frac{12}{s^2} \quad\Longrightarrow\quad (s-1)^2\,Y(s)\;=\;\frac{12}{s^2}+4s-7.
Logo
Y(s)=\frac{12}{s^2\,(s-1)^2}\;+\;\frac{4s-7}{(s-1)^2}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em \displaystyle \frac{12}{s^2\,(s-1)^2}. Procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{12}{s^2(s-1)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-1}+\frac{D}{(s-1)^2}.
Igualando numeradores, obtemos o sistema
A+ C=0,\quad -2A+B-C+D=0,\quad A-2B=0,\quad B=12,
cuja solução é A=24, B=12, C=-24, D=12. Logo
\frac{12}{s^2(s-1)^2} = \frac{24}{s}+\frac{12}{s^2}-\frac{24}{s-1}+\frac{12}{(s-1)^2}.

Passo 5

Agora decompomos também \displaystyle\frac{4s-7}{(s-1)^2} como
\frac{4s-7}{(s-1)^2} =\frac{4}{s-1}-\frac{3}{(s-1)^2}.
Somando tudo,
Y(s) =24\,\frac{1}{s} +12\,\frac{1}{s^2} -24\,\frac{1}{s-1} +12\,\frac{1}{(s-1)^2} +4\,\frac{1}{s-1} -3\,\frac{1}{(s-1)^2},
que simplifica para
Y(s)=\frac{24}{s}+\frac{12}{s^2}-\frac{20}{s-1}+\frac{9}{(s-1)^2}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)\}=e^t, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)^2\}=t e^t, obtemos
y(t) =24 +12\,t -20\,e^t +9\,t\,e^t.

Resposta

\boxed{y(t)=12\,t+24 \;+\;e^t\,(9\,t-20).}

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