Usando Laplace, resolva os PVIs abaixo:
y^{\prime \prime}+9 y=20 e^{-t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1,

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'' + 9y = 20 e^{-t},\quad y(0)=0,\;y'(0)=1.
O conteúdo é transformada de Laplace para resolver EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar as fórmulas \;L\{y''\} = s^2Y - sy(0) - y'(0); e \;L\{e^{-t}\} = \tfrac{1}{s+1}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
L\{y''\} + 9L\{y\} = 20\,L\{e^{-t}\}.
Como L\{y\}=Y(s) e pelas condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, temos
(s^2Y(s) - 1) + 9Y(s) = \frac{20}{s+1}.

Passo 3

Agrupando termos em Y(s):
Y(s)\bigl(s^2 + 9\bigr) = \frac{20}{s+1} + 1
Logo
Y(s) = \frac{\frac{20}{s+1} + 1}{s^2 + 9}.

Passo 4

Para inverter, separamos em frações parciais o termo com 20:
\frac{20}{(s+1)(s^2+9)} = \frac{A}{s+1} + \frac{Bs + C}{s^2+9}.
Igualando coeficientes: A + B = 0,\; B + C = 0,\; 9A + C = 20
resulta A=2, B=-2, C=2. Assim, incluindo o +1/(s^2+9) de passo anterior,
Y(s) = \frac{2}{s+1} \;-\;\frac{2s}{s^2+9}\;+\;\frac{3}{s^2+9}.

Passo 5

Aplicando transformada inversa termo a termo:
L^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s+1}\Bigr\}=2e^{-t},\quad L^{-1}\Bigl\{\tfrac{-2s}{s^2+9}\Bigr\}=-2\cos(3t),\quad L^{-1}\Bigl\{\tfrac{3}{s^2+9}\Bigr\}=\sin(3t).
Logo
y(t) = 2e^{-t} \;-\;2\cos(3t)\;+\;\sin(3t).

Resposta

y(t)=2e^{-t} - 2\cos(3t) + \sin(3t)

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