Usando Laplace, resolva.
y^{\prime \prime}+y=t^{2}+1
y^{\prime}(0)=y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a EDO
y''(t)+y(t)=t^2+1
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O que precisamos: saber que
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e as transformadas
\mathcal{L}\{t^n\}=n!/s^{n+1}.

Passo 2

Aplicando Laplace nos dois lados de
y''+y=t^2+1
temos
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+Y(s) =\frac{2}{s^3}+\frac{1}{s}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, fica
(s^2+1)Y(s)=\frac{2}{s^3}+\frac{1}{s},
logo
Y(s)=\frac{2}{s^3(s^2+1)}+\frac{1}{s(s^2+1)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em cada termo:
Para \displaystyle\frac{2}{s^3(s^2+1)} obtemos
\frac{2}{s^3(s^2+1)} =-\frac{2}{s}+\frac{2}{s^3}+\frac{2s}{s^2+1}.
Para \displaystyle\frac{1}{s(s^2+1)} obtemos
\frac{1}{s(s^2+1)} =\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1}.
Somando as duas expansões:
Y(s) =-\frac{2}{s}+\frac{2}{s^3}+\frac{2s}{s^2+1} +\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1} =-\frac{1}{s}+\frac{2}{s^3}+\frac{s}{s^2+1}.

Passo 4

Invertemos termo a termo usando tabelinha de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^3\}=t^2/2,
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos t.
Então
y(t) =-1+2\cdot\frac{t^2}{2}+\cos t =-1+t^2+\cos t.

Resposta

y(t)=t^2-1+\cos t.

Exercícios relacionados