Usando Laplace, resolva.
y^{\prime \prime}+y=t^{2}+1
y^{\prime}(0)=y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, a equação
y'' + y = t^2 + 1
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0.
O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a EDO linear com condições iniciais.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em cada termo e usando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{y''\} + \mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{t^2+1\}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0,
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s), \quad \mathcal{L}\{y\} = Y(s), \quad \mathcal{L}\{t^2+1\} = \frac{2}{s^3} + \frac{1}{s}.
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(s^2+1)\,Y(s) = \frac{2}{s^3} + \frac{1}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s), obtemos
Y(s) = \frac{\frac{2}{s^3} + \frac{1}{s}}{s^2+1} = \frac{2}{s^3(s^2+1)} + \frac{1}{s(s^2+1)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em cada parcela:
\frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+1},
\frac{2}{s^3(s^2+1)} = -\frac{2}{s} + \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2+1}.
Somando,
Y(s) = \Bigl(-\frac{2}{s} + \frac{2}{s^3} + \frac{2s}{s^2+1}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2+1}\Bigr) = -\frac{1}{s} + \frac{2}{s^3} + \frac{s}{s^2+1}.

Passo 5

Invertemos termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(-\frac{1}{s}\Bigr) = -1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{2}{s^3}\Bigr) = t^2, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{s}{s^2+1}\Bigr) = \cos t.
Portanto,
y(t) = -1 + t^2 + \cos t.
Verifica-se que y(0)=0 e y'(0)=0, conforme pedido.

Resposta

y(t) = t^2 + \cos t - 1.

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