2^{a} Questão: Calcule, usando a definição por limite, a derivada da função f(x)=x^{5} no ponto x=3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^5 no ponto x=3 usando a definição por limite. O conteúdo aqui é a derivada pelo quociente incremental, cujo conceito é
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Vamos aplicá-lo com a=3.

Passo 2

Usando a definição direta, temos
f'(3)=\lim_{x\to 3}\frac{x^5-3^5}{x-3}.
Para simplificar a conta, fazemos a troca de variável x=3+h, de modo que h\to0 quando x\to3. Então
f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^5-3^5}{h}.

Passo 3

Vamos expandir (3+h)^5 pelo Teorema Binomial:
(3+h)^5 =\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}3^{5-k}h^k =3^5 +5\cdot3^4h +10\cdot3^3h^2 +10\cdot3^2h^3 +5\cdot3h^4 +h^5.
Logo,
(3+h)^5-3^5 =5\cdot3^4h +10\cdot3^3h^2 +10\cdot3^2h^3 +5\cdot3h^4 +h^5.

Passo 4

Colocando na fração e fatorando h, obtemos
\frac{(3+h)^5-3^5}{h} =5\cdot3^4 +10\cdot3^3h +10\cdot3^2h^2 +5\cdot3h^3 +h^4.

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando h\to0. Todos os termos que contêm h somados vão a zero, restando
\lim_{h\to0}\bigl(5\cdot3^4 +10\cdot3^3h +\dots +h^4\bigr) =5\cdot3^4=5\cdot81=405.

Resposta

f'(3)=405.

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