Usando a lei de Ampère, determine o campo magnético no interior de um fio de raio R, que conduz uma corrente elétrica de densidade J=a r^3, onde a é uma constante qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de eletromagnetismo usando a Lei de Ampère. O problema é o seguinte: temos um fio com raio $ R $ que conduz uma corrente elétrica com densidade de corrente $ J = a r^{3} $, onde $ a $ é uma constante. Nosso objetivo é determinar o campo magnético no interior desse fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Essa lei relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. A expressão matemática da Lei de Ampère é:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde:
  • $ \vec{B} $ é o campo magnético,
  • $ d\vec{l} $ é um elemento infinitesimal do caminho fechado,
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
  • $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos escolher um caminho ampeleriano que seja círculo de raio $ r $ (onde $ r \leq R $) centrado no eixo do fio. Devido à simetria do problema, o campo magnético $ \vec{B} $ terá a mesma magnitude em todos os pontos desse círculo e será perpendicular ao raio.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $. Como $ \vec{B} $ é constante em magnitude ao longo do caminho e sempre tangente ao círculo, a integral fica:
oint B cdot dl

Passo 5

Precisamos determinar a corrente encerrada $ I_{enc} $ pelo caminho ampeleriano. Dado que a densidade de corrente é $ J = a r^{3} $, a corrente total até o raio $ r $ é a integral da densidade sobre a área:
Ienc

Passo 6

Calculando a integral:
Ienc = 2pi a [ r'^44 ]0^r = pi a r^42

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 cdot pi a r^42
Resolvendo para $ B $:
B

Resposta

O campo magnético no interior do fio é dado por:
B(r) = mu0 a r^34

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