Usando a lei de Ampère, determine o campo magnético no interior de um fio de raio
, que conduz uma corrente elétrica de densidade
, onde a é uma constante qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de eletromagnetismo usando a Lei de Ampère. O problema é o seguinte: temos um fio com raio $ R $ que conduz uma corrente elétrica com densidade de corrente $ J = a r^{3} $, onde $ a $ é uma constante. Nosso objetivo é determinar o campo magnético no interior desse fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Essa lei relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. A expressão matemática da Lei de Ampère é:
Onde:
- $ \vec{B} $ é o campo magnético,
- $ d\vec{l} $ é um elemento infinitesimal do caminho fechado,
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo,
- $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos escolher um caminho ampeleriano que seja círculo de raio $ r $ (onde $ r \leq R $) centrado no eixo do fio. Devido à simetria do problema, o campo magnético $ \vec{B} $ terá a mesma magnitude em todos os pontos desse círculo e será perpendicular ao raio.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $. Como $ \vec{B} $ é constante em magnitude ao longo do caminho e sempre tangente ao círculo, a integral fica:
Passo 5
Precisamos determinar a corrente encerrada $ I_{enc} $ pelo caminho ampeleriano. Dado que a densidade de corrente é $ J = a r^{3} $, a corrente total até o raio $ r $ é a integral da densidade sobre a área:
Passo 6
Calculando a integral:
Passo 7
Agora, aplicamos a Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Resposta
O campo magnético no interior do fio é dado por: