Usando a lei de Bio-Savart, determine o campo magnético em um ponto
distante de um fio fino finito.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar a lei de Biot–Savart e achar o campo magnético num ponto P que está a uma distância fixa de um fio reto e finito, pelo qual passa uma corrente I.
Conteúdo: magnetostática, lei de Biot–Savart e integração.
O que precisamos:
Conteúdo: magnetostática, lei de Biot–Savart e integração.
O que precisamos:
- Escrever a lei de Biot–Savart 🎯
- Escolher um sistema de coordenadas e definir as variáveis de integração (posição de cada “dℓ” e vetor que liga dℓ a P) 👷♂️
- Fazer produto vetorial e integrar de uma extremidade à outra do fio 🧮
- Interpretar o resultado em termos de ângulos e dar a resposta final ✨
Passo 2
Vamos anotar a lei de Biot–Savart:
onde
-
é o elemento de fio apontando na direção da corrente, -
é o vetor que vai do elemento até o ponto P, -
é o versor nessa direção, -
é a distância de a P, -
é a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Geometria:
- Suponha o fio retilíneo ao longo do eixo
, de até . - O ponto P está a uma distância
do fio, no eixo . - Um elemento de fio em
é . - O vetor de P até esse elemento é
, então - A corrente flui no sentido +x, e pelas regras do produto vetorial o campo fica apontando na direção
(para dentro ou para fora da página, dependendo do sentido).
Passo 4
Calcular
:
Então o módulo de
vale
e a direção é
.
Passo 5
Integramos
de
a
:
Essa integral é padrão:
.
Logo
Logo
Passo 6
Agora, pra ficar mais bonito, a gente define dois ângulos:
-
é o ângulo que a reta de P ao ponto faz com a perpendicular ao fio, então . -
é o ângulo análogo para , com (o sinal aparece se for negativo).
Substituindo dá