Usando a lei de Bio-Savart, determine o campo magnético em um ponto P distante de um fio fino finito.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar a lei de Biot–Savart e achar o campo magnético num ponto P que está a uma distância fixa de um fio reto e finito, pelo qual passa uma corrente I.
Conteúdo: magnetostática, lei de Biot–Savart e integração.
O que precisamos:
  1. Escrever a lei de Biot–Savart 🎯
  2. Escolher um sistema de coordenadas e definir as variáveis de integração (posição de cada “dℓ” e vetor que liga dℓ a P) 👷‍♂️
  3. Fazer produto vetorial e integrar de uma extremidade à outra do fio 🧮
  4. Interpretar o resultado em termos de ângulos e dar a resposta final ✨

Passo 2

Vamos anotar a lei de Biot–Savart:
dvec B = mu0,I4pi,dvec ell times hat rr^2,,
onde
  • é o elemento de fio apontando na direção da corrente,
  • é o vetor que vai do elemento até o ponto P,
  • é o versor nessa direção,
  • é a distância de a P,
  • é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Geometria:
  • Suponha o fio retilíneo ao longo do eixo r = raizx^2 + a^2,, hat r = x,hat x + a,hat yraizx^2 + a^2, de até .
  • O ponto P está a uma distância do fio, no eixo .
  • Um elemento de fio em é .
  • O vetor de P até esse elemento é , então
  • A corrente flui no sentido +x, e pelas regras do produto vetorial o campo fica apontando na direção (para dentro ou para fora da página, dependendo do sentido).

Passo 4

Calcular dvec ell times hat r = l(dx,hat xr)timesx,hat x + a,hat yraizx^2+a^2 = dx,araizx^2+a^2;(hat xtimeshat y) = dx,araizx^2+a^2;hat z, :
dB = mu0 I4pi;a,dx(x^2+a^2)^3/2,,
Então o módulo de vale
e a direção é .

Passo 5

Integramos B = integralx1^x2 dB = mu0 I4pi;a integralx1^x2dx(x^2+a^2)^3/2, de B = mu0 I4pi;a;gl[xa^2raizx^2+a^2gr]x1^x2 = mu0 I4pi a;l(x2raizx2^2+a^2 - x1raizx1^2+a^2r) a :
Essa integral é padrão:
.
Logo

Passo 6

Agora, pra ficar mais bonito, a gente define dois ângulos:
  • B = mu0 I4pi a,l(sinalpha + sinbetar),hat z é o ângulo que a reta de P ao ponto faz com a perpendicular ao fio, então .
  • é o ângulo análogo para , com (o sinal aparece se for negativo).
Substituindo dá

Resposta

boxed B = mu0,I4pi,a,l(sinalpha + sinbetar)(direção (hat z), pela regra da mão direita) çãã

Exercícios relacionados