Usando a lei de Gauss calcule o campo elétrico produzido por uma carga positiva
uniformemente distribuida no volume de uma esfera isolante de raio
e use esse resultado para achar uma expressâo para o potencial
em função de
. Considere
a uma distância infinita.
Use a expressão de
obtida no item (a) para achar o campo elétrico. Os resultados se equivalem?.
Use a expressão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por uma carga positiva
que está distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera isolante de raio
. Depois, com esse resultado, vamos achar uma expressão para o potencial elétrico
em função da distância
do centro da esfera. Por fim, vamos usar essa expressão de
para encontrar de novo o campo elétrico e ver se bate com o que já encontramos. Para isso, vamos precisar lembrar como a Lei de Gauss funciona e como relacionar campo elétrico e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico
usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que:
Onde
é a carga eletricamente envolvida pela superfície gaussiana. Vamos considerar dois casos: quando a distância
é menor que o raio da esfera (
) e quando
é maior ou igual a
(
).
Passo 3
Caso 1:
Aqui, a superfície gaussiana está dentro da esfera. A carga total dentro dessa superfície é uma parte da carga total
, proporcional ao volume:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Caso 2:
Agora, a superfície gaussiana envolve toda a carga
. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o potencial elétrico
usando a relação entre campo elétrico e potencial:
Vamos dividir em dois casos novamente.
Para
:
Para
:
Aqui, precisamos integrar o campo dentro da esfera e adicionar o potencial da esfera completa:
Passo 5
Agora, vamos usar a expressão de
para encontrar o campo elétrico
. Sabemos que:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos comparar os resultados obtidos:
-
Calculando
usando a Lei de Gauss, encontramos: - Para
: - Para
:
- Para
-
Calculando
a partir do potencial , encontramos exatamente as mesmas expressões para nos dois casos.
Resposta
Sim, os resultados do campo elétrico obtidos pela Lei de Gauss e pela derivação do potencial
são equivalentes: