Usando a lei de Gauss calcule o campo elétrico produzido por uma carga positiva Q uniformemente distribuida no volume de uma esfera isolante de raio R e use esse resultado para achar uma expressâo para o potencial V em função de r. Considere V=0 a uma distância infinita.
Use a expressão de V obtida no item (a) para achar o campo elétrico. Os resultados se equivalem?.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico gerado por uma carga positiva Q que está distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera isolante de raio R. Depois, com esse resultado, vamos achar uma expressão para o potencial elétrico V em função da distância r do centro da esfera. Por fim, vamos usar essa expressão de V para encontrar de novo o campo elétrico e ver se bate com o que já encontramos. Para isso, vamos precisar lembrar como a Lei de Gauss funciona e como relacionar campo elétrico e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico E(r) usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde Qenc é a carga eletricamente envolvida pela superfície gaussiana. Vamos considerar dois casos: quando a distância r é menor que o raio da esfera ( r < R) e quando r é maior ou igual a R ( r >= R).

Passo 3

Caso 1: r < R
Aqui, a superfície gaussiana está dentro da esfera. A carga total dentro dessa superfície é uma parte da carga total Q, proporcional ao volume:
Qenc = Q (r^3R^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Q (r^3R^3)varepsilon0
Resolvendo para E:
E(r) = Q r4pi varepsilon0 R^3
Caso 2: r >= R
Agora, a superfície gaussiana envolve toda a carga Q. Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Resolvendo para E:
E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o potencial elétrico V(r) usando a relação entre campo elétrico e potencial:
V(r) = -integralinfty^r E cdot dl
Vamos dividir em dois casos novamente.
Para r >= R:
V(r) = Q4pi varepsilon0 r
Para r < R:
Aqui, precisamos integrar o campo dentro da esfera e adicionar o potencial da esfera completa:
V(r) = Q4pi varepsilon0 R (32 - r^22R^2)

Passo 5

Agora, vamos usar a expressão de V(r) para encontrar o campo elétrico E(r). Sabemos que:
E(r) = -dVdr
Para r >= R:
E(r) = -ddr (Q4pi varepsilon0 r) = Q4pi varepsilon0 r^2
Para r < R:
E(r) = -ddr (Q4pi varepsilon0 R (32 - r^22R^2)) = Q r4pi varepsilon0 R^3

Passo 6

Agora, vamos comparar os resultados obtidos:
  • Calculando E(r) usando a Lei de Gauss, encontramos:
    • Para r < R: E(r) = Q r4pi varepsilon0 R^3
    • Para r >= R: E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2
  • Calculando E(r) a partir do potencial V(r), encontramos exatamente as mesmas expressões para E(r) nos dois casos.

Resposta

Sim, os resultados do campo elétrico obtidos pela Lei de Gauss e pela derivação do potencial V(r) são equivalentes:
E(r) = Q r4pi varepsilon0 R^3 & para r < R Q4pi varepsilon0 r^2 & para r >= R

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