Uma grande placa (placa infinita) possui uma densidade de carga superficial \sigma= -2,5 \frac{\mu \mathrm{C}}{\mathrm{m}^{2}}. Calcule a intensidade, em módulo, da aceleração que seria adquirida por um elétron a 64,9 \mu \mathrm{~m} da placa.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: densidade de carga superficial da placa infinita \sigma = -2{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2. (Peguei este valor diretamente do enunciado.)
  • Dado: distância do elétron à placa 64{,}9\\ \mu\mathrm{m}. (Peguei este valor diretamente do enunciado.)
  • Pedido: calcular a intensidade, em módulo, da aceleração que seria adquirida por um elétron nessa posição (ou seja, o valor numérico de a em \mathrm{m/s^2}).
Observação importante que o enunciado exige saber: a placa é considerada infinita — isso costuma tornar o campo elétrico independente da distância à placa. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Qual fórmula física usar e por quê (explicação didática):
Para uma placa infinita com densidade superficial de carga \sigma, o campo elétrico gerado é uniforme e perpendicular à placa. Usando a Lei de Gauss (um raciocínio padrão em eletrostática), obtém-se a expressão
E=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0},
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico (em \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m});
  • |\sigma| é o módulo da densidade superficial de carga (em \mathrm{C/m^2});
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0 \approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Breve justificativa intuitiva (sem derivação formal): a placa infinita produz campo uniforme porque, ao aplicar Gauss, as contribuições de regiões distantes compensam de forma que o campo não depende da distância. O fator 1/2 aparece porque uma placa infinita emite campo dos dois lados (cada lado contribui com metade do campo total “produzido pela superfície” se considerarmos o fluxo através de uma superfície gaussiana adequada).

Passo 3

Converter unidades e calcular E numericamente (contando os passos):
Primeiro converto \sigma de \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2 para \mathrm{C}/\mathrm{m}^2:
\sigma = -2{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2 = -2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
Vou usar o módulo |\sigma| = 2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
Agora aplico a fórmula do campo:
E=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}=\frac{2{,}5\times10^{-6}}{2\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}}\\ \mathrm{V/m}.
Faço as contas em ordem: o denominador vale 2\varepsilon_0 = 1{,}7708375634\times10^{-11}. Então
E \approx \frac{2{,}5\times10^{-6}}{1{,}7708375634\times10^{-11}} = 1{,}412\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
Comentário didático: note que E não depende da distância 64{,}9\\ \mu\mathrm{m}; por isso esse valor da distância não entra no cálculo do módulo do campo para uma placa infinita.

Passo 4

Força elétrica sobre o elétron (fórmula, constantes e explicação):
A força elétrica sobre uma carga q imersa em um campo \vec{E} é
\vec{F} = q\vec{E}.
Aqui precisamos apenas do módulo da força. Para o elétron, o módulo da carga elementar é e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Assim
F = e\,E.
Substituindo E e e:
F \approx 1{,}602176634\times10^{-19}\cdot 1{,}412\times10^{5} = 2{,}262273407\times10^{-14}\\ \mathrm{N}.
Explicação didática: embora o elétron tenha carga negativa, aqui estamos tomando módulo da força; portanto uso o módulo e. A direção da força seria oposta à direção do campo, mas isso não altera o módulo.

Passo 5

Cálculo da aceleração a partir da segunda lei de Newton:
A segunda lei diz
\vec{F}=m\vec{a},
portanto, em módulo,
a=\frac{F}{m}.
Massa do elétron: m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Substituindo F e m_e:
a \approx \frac{2{,}262273407\times10^{-14}}{9{,}10938356\times10^{-31}} = 2{,}48354\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^2}.
Breve comentário prático: esse número é enorme — elétrons, por serem muito leves, adquirem acelerações muito grandes mesmo sob campos elétricos moderados. Também observe que esse valor é independente da distância de 64{,}9\\ \mu\mathrm{m} porque o campo da placa infinita é uniforme.

Passo 6

Verificação rápida das ordens de grandeza (servindo de checagem mental):
  • Campo: E\sim10^{5}\\ \mathrm{V/m} para \sigma na faixa de 10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2} é razoável.
  • Força: F\sim eE \sim 10^{-19}\cdot10^{5}=10^{-14}\\ \mathrm{N}.
  • Aceleração: a\sim F/m_e \sim 10^{-14}/10^{-30}=10^{16}\\ \mathrm{m/s^2}.
    Essas contas rápidas batem com o resultado numérico e dão confiança na resposta.

Resposta

2{,}48\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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