Considere que um longo selenóide com n1 espiras e com raio r1 está envolvido por uma bobina com n2 espiras e raio r2. Pelo selenóide passa uma corrente I.
a) Calcule a indutância mútua assumindo que todo o fluxo do campo magnético passa por dentro da bobina.
b) Escreve a indutância mútua em termos da auto indutância e proponha uma maneira de levar em consideração a quantidade de fluxo do campo magnético nessa relação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a indutância mútua entre um solenoide longo de raio r1 e n1 espiras (por unidade de comprimento) e uma bobina coaxial de raio r2 e n2 espiras (por unidade de comprimento), fazendo passar corrente I no solenoide. Vamos usar Ampère para achar o campo no solenoide e a definição de indutância mútua M=Psi2/I.

Passo 2

Primeiro, usamos que o campo magnético dentro de um solenoide longo e uniforme é dado por Ampère:
B = mu0,n1,I
onde n1 é o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide.

Passo 3

Cada espira da bobina externa de raio r2 só “vê” fluxo na região do solenoide (raio r1), então a área efetiva é pi r1^2. O fluxo por espira é
Phi = B times pi r1^2 = mu0,n1,I,pi r1^2
e a ligação total de n2 espiras por unidade de comprimento dá Psi2 = n2,Phi. Assim
M = Psi2I = mu0,n1,n2,pi r1^2

Passo 4

Para expressar em termos das autoindutâncias, consideramos que um segmento comum de comprimento ell tem
L1 = mu0,n1^2,pi r1^2,ell, L2 = mu0,n2^2,pi r2^2,ell
Calculamos
raizL1,L2 = mu0,n1,n2,pi,r1,r2,ell
Comparando com M acima, obtemos
M = r1r2,raizL1,L2,

Passo 5

De modo geral, introduzimos o coeficiente de acoplamento k<=1 que representa a fração de fluxo efetivamente captada e escrevemos
M = k,raizL1,L2
onde, neste caso ideal, k = r1/r2.

Resposta

a) M = mu0,n1,n2,pi r1^2 b) Em termos de autoindutâncias: M = kraizL1L2, com coeficiente de acoplamento k = r1/r2 (geralmente 0<= k<=1 para levar em conta a fração de fluxo compartilhada).

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