Usando L’Hopital, calcule:
3). Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+n+n^{2}}{1+2+3+\ldots+n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{1 + n + n^{2}}{1 + 2 + 3 + \cdots + n}
usando a regra de L’Hôpital. Vamos precisar da soma dos primeiros n inteiros e então tratar a expressão como uma função de variável real para aplicar L’Hôpital, já que temos uma forma \infty/\infty.

Passo 2

Recordando a soma dos primeiros n inteiros:
1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
Substituindo no denominador, a expressão torna-se
\frac{1 + n + n^{2}}{\frac{n(n+1)}{2}}.

Passo 3

Definimos a função de variável real x:
f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{\tfrac{x(x+1)}{2}} =\frac{x^{2} + x + 1}{\tfrac12\,x^{2} + \tfrac12\,x}.
À medida que x\to\infty, tanto o numerador quanto o denominador tendem a \infty, caracterizando uma forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} + x + 1\bigr) = 2x + 1.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac12\,x^{2} + \tfrac12\,x\Bigr) = x + \tfrac12.
Logo o limite fica
\lim_{x\to\infty}\frac{2x + 1}{x + \tfrac12},
que ainda é \infty/\infty.

Passo 5

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivada de 2x + 1 é 2. Derivada de x + \tfrac12 é 1. Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{2x + 1}{x + \tfrac12} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{1} = 2.

Resposta

O valor do limite é 2.

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