Usando L’Hopital, calcule:
3). Calcule
3). Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a regra de L’Hôpital. Vamos precisar da soma dos primeiros
inteiros e então tratar a expressão como uma função de variável real para aplicar L’Hôpital, já que temos uma forma
.
Passo 2
Recordando a soma dos primeiros
inteiros:
Substituindo no denominador, a expressão torna-se
Passo 3
Definimos a função de variável real
:
À medida que
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, caracterizando uma forma indeterminada
.
Passo 4
Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
. Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Logo o limite fica
que ainda é
.
Passo 5
Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivada de
é
. Derivada de
é
. Assim,
Resposta
O valor do limite é
.