5). Considere uma função polinomial do 3^{\circ} grau \boldsymbol{y}=\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{3}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{c x}+\boldsymbol{d}, sendo constantes “a”, “b”, “c” e “d”. Sabe-se que há valor de máximo relativo na origem e mínimo relativo em (3,-3). Qual é o ponto de inflexão?

Passo 1

O enunciado diz que
y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d
é um polinômio cúbico com máximo relativo na origem (0,0) e mínimo relativo em (3,-3).
Para achar extremos usamos a primeira derivada
f'(x) = 3a x^{2} + 2b x + c
e para o ponto de inflexão usamos a segunda derivada
f''(x) = 6a x + 2b.

Passo 2

Como há extremo em x=0 e em x=3, temos
f'(0)=0\quad\Longrightarrow\quad c=0,
f'(3)=0\quad\Longrightarrow\quad 3a\cdot 3^{2} + 2b\cdot 3 + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad 27a + 6b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -\tfrac{9}{2}a.

Passo 3

Do máximo em (0,0) segue
f(0)=d=0.
Do mínimo em (3,-3) segue
f(3)=27a + 9b + 3c + d = -3.
Substituindo b=-\tfrac{9}{2}a, c=0, d=0:
27a + 9\bigl(-\tfrac{9}{2}a\bigr) = -3 \quad\Longrightarrow\quad 27a - \tfrac{81}{2}a = -3 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{27}{2}a = -3 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{2}{9},
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b = -\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{2}{9} = -1,\quad c=0,\quad d=0.

Passo 4

O ponto de inflexão satisfaz f''(x)=0:
f''(x)=6a x + 2b = 6\cdot\tfrac{2}{9}x + 2(-1) = \tfrac{12}{9}x - 2 = \tfrac{4}{3}x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Calculamos y em x=\tfrac{3}{2}:
y\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr) = \tfrac{2}{9}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{3} -1\cdot\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} = \tfrac{2}{9}\cdot\tfrac{27}{8} - \tfrac{9}{4} = \tfrac{3}{4} - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{6}{4} = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

O ponto de inflexão é \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr).

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