Usando L’Hopital, calcule:
1).
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x+e^{x}\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\bigl(x+e^x\bigr)^{1/x}
usando a regra de L’Hôpital. Vamos usar conceitos de limites, logaritmo e L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0}\bigl(x+e^x\bigr)^{1/x}.
Para lidar com a potência, tomamos o logaritmo:
\ln L = \lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(x+e^x\bigr)}{x}.

Passo 3

Verificamos a forma indeterminada: quando x\to0, temos x+e^x\to1 e \ln(x+e^x)\to\ln(1)=0, enquanto o denominador x\to0. Logo é um caso 0/0, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\ln L = \lim_{x\to0} \frac{\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+e^x)\bigr]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{e^x+1}{\,x+e^x\,}}{1} = \lim_{x\to0}\frac{e^x+1}{x+e^x}.

Passo 5

Calculamos esse limite diretamente:
\lim_{x\to0}\frac{e^x+1}{x+e^x} = \frac{1+1}{0+1} = 2.
Portanto \ln L=2.

Passo 6

Voltando à base, obtemos
L = e^{\ln L} = e^2.

Resposta

e^2

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