4). Dentre todos os triângulos inscritos em uma semicircunferência de raio
, quais as medidas do triângulo de maior área? E se fosse um retângulo de lados “a” e “b”?
Passo 1
O enunciado pede dois problemas de otimização geométrica num semicirculo de raio
:
- Entre todos os triângulos inscritos no semicírculo (com a hipotenusa sobre o diâmetro), determinar aquele de área máxima.
- Entre todos os retângulos inscritos no mesmo semicírculo, com lados
(base) e (altura), determinar os valores de e que maximizam a área.
Vamos usar coordenas e derivadas para encontrar máximos.
Passo 2
Para o triângulo, fixamos os extremos da hipotenusa nos pontos
e
e o terceiro vértice em
, com
. A hipotenusa vale
e, por construção, o ângulo em
é reto (Teorema de Tales).
Passo 3
A área do triângulo é
Para maximizar, derivamos em relação a
:
Logo o vértice fica em
, e o triângulo é isósceles-retângulo de catetos
Passo 4
Para o retângulo, colocamos os vértices na base em
e
e no arco em
,
, com
e
Os lados são
e
, e a área vale
Passo 5
Para maximizar
, derivamos:
Zerando o numerador dá
, ou seja
. Então
Resposta
Triângulo de maior área: isósceles-retângulo com hipotenusa
e catetos
(ângulos
).
Retângulo de maior área:
Retângulo de maior área: