4). Dentre todos os triângulos inscritos em uma semicircunferência de raio r, quais as medidas do triângulo de maior área? E se fosse um retângulo de lados “a” e “b”?

Passo 1

O enunciado pede dois problemas de otimização geométrica num semicirculo de raio R:
  1. Entre todos os triângulos inscritos no semicírculo (com a hipotenusa sobre o diâmetro), determinar aquele de área máxima.
  2. Entre todos os retângulos inscritos no mesmo semicírculo, com lados a (base) e b (altura), determinar os valores de a e b que maximizam a área.
    Vamos usar coordenas e derivadas para encontrar máximos.

Passo 2

Para o triângulo, fixamos os extremos da hipotenusa nos pontos (-R,0) e (R,0) e o terceiro vértice em (R\cos\theta,R\sin\theta), com 0<\theta<\pi. A hipotenusa vale 2R e, por construção, o ângulo em (R\cos\theta,R\sin\theta) é reto (Teorema de Tales).

Passo 3

A área do triângulo é
A_T(\theta) = \frac{1}{2}\times (\text{base}=2R)\times (\text{altura}=R\sin\theta) = R^2\sin\theta.
Para maximizar, derivamos em relação a \theta:
\frac{dA_T}{d\theta} = R^2\cos\theta \quad\longrightarrow\quad \cos\theta=0\;\Rightarrow\;\theta=\frac{\pi}{2}.
Logo o vértice fica em (0,R), e o triângulo é isósceles-retângulo de catetos
\sqrt{(0-(-R))^2+(R-0)^2} =\sqrt{R^2+R^2} =R\sqrt{2}.

Passo 4

Para o retângulo, colocamos os vértices na base em (-x,0) e (x,0) e no arco em (-x,y), (x,y), com y\ge0 e y=\sqrt{R^2 - x^2}. Os lados são a=2x e b=y, e a área vale
A_R(x) = a\,b =2x\sqrt{R^2 - x^2}.

Passo 5

Para maximizar A_R(x), derivamos:
\frac{dA_R}{dx} =2\sqrt{R^2 - x^2} -2x\cdot\frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}} =\frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}}
Zerando o numerador dá R^2 - 2x^2=0, ou seja x = \dfrac{R}{\sqrt{2}}. Então
a = 2x = \sqrt{2}\,R, \qquad b = \sqrt{R^2 - x^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}.

Resposta

Triângulo de maior área: isósceles-retângulo com hipotenusa 2R e catetos R\sqrt{2} (ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ).
Retângulo de maior área:
a = \sqrt{2}\,R, \qquad b = \frac{R}{\sqrt{2}}.

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