Usando \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}=1
Determine os limites nos exercicios 21-36.
\lim _{x \rightarrow 0} 6 x^{2}(\cot x)(\operatorname{cosec} 2 x)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}6x^{2}\,\bigl(\cot x\bigr)\,\bigl(\csc2x\bigr),
que envolve funções trigonométricas e a aplicação de limites fundamentais em pequenos ângulos, usando principalmente
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1.

Passo 2

Expressamos \cot x e \csc2x em termos de \sin e \cos:
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \csc2x = \frac{1}{\sin(2x)}.
Logo a expressão torna-se
6x^{2}\,\frac{\cos x}{\sin x}\,\frac{1}{\sin(2x)} =6x^{2}\,\frac{\cos x}{\sin x\,\sin(2x)}.

Passo 3

Usamos a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x. Assim
\sin x\,\sin(2x)=\sin x\,(2\sin x\cos x) =2\sin^{2}x\cos x,
e a expressão fica
6x^{2}\,\frac{\cos x}{2\sin^{2}x\cos x} =\frac{6x^{2}}{2\sin^{2}x} =3\,\frac{x^{2}}{\sin^{2}x}.

Passo 4

Reescrevemos
3\,\frac{x^{2}}{\sin^{2}x} =3\Bigl(\frac{x}{\sin x}\Bigr)^{2}.
Como \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, temos também
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\Bigl(\frac{x}{\sin x}\Bigr)^{2}=1.

Passo 5

Portanto
\lim_{x\to0}6x^{2}(\cot x)(\csc2x) =3\cdot1 =3.

Resposta

3

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