Usando \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}=1
Determine os limites nos exercicios 21-36.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{cosec} 2 x}{\cos 5 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} \frac{x\,\operatorname{cosec}(2x)}{\cos(5x)},
sabendo que o conteúdo é limite de funções trigonométricas e usando o fato fundamental
\lim_{\theta\to 0}\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão usando \operatorname{cosec}(2x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(2x)}:
\frac{x\,\operatorname{cosec}(2x)}{\cos(5x)} = \frac{x}{\operatorname{sen}(2x)}\;\frac{1}{\cos(5x)}.

Passo 3

Para aplicar o limite, extraímos um fator \tfrac12 de x/\operatorname{sen}(2x). Note que
\frac{x}{\operatorname{sen}(2x)} = \frac{1}{2}\,\frac{2x}{\operatorname{sen}(2x)},
então
\frac{x}{\operatorname{sen}(2x)}\;\frac{1}{\cos(5x)} = \frac{1}{2}\,\frac{2x}{\operatorname{sen}(2x)}\;\frac{1}{\cos(5x)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite de cada fator:
  1. \displaystyle \frac{1}{2} permanece \tfrac12.
  2. Pela hipótese fundamental,
    \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2x}{\operatorname{sen}(2x)}=1.
  3. \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(5x)}=\frac{1}{\cos(0)}=1.
Multiplicando tudo, o limite total é
\frac12 \times 1 \times 1 = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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