Usando \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}=1
Determine os limites nos exercicios 21-36.
\lim _{y \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{sen} 3 y \operatorname{cotg} 5 y}{y \operatorname{cotg} 4 y}

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{y\to\infty} \frac{\operatorname{sen}(3y)\,\operatorname{cotg}(5y)}{y\,\operatorname{cotg}(4y)}
Logo, o conteúdo é comportamento de funções trigonométricas em \infty e vamos usar identidades como \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}
e argumentos de bounding para ver se existe um valor limite.

Passo 2

Reescrevendo cada cotangente em termos de seno e cosseno:
\frac{\operatorname{sen}(3y)\,\operatorname{cotg}(5y)}{y\,\operatorname{cotg}(4y)} =\frac{\operatorname{sen}(3y)\,\frac{\cos(5y)}{\operatorname{sen}(5y)}}{y\,\frac{\cos(4y)}{\operatorname{sen}(4y)}} =\frac{\operatorname{sen}(3y)\,\cos(5y)\,\operatorname{sen}(4y)}{y\,\operatorname{sen}(5y)\,\cos(4y)}.

Passo 3

Note que \operatorname{sen}(3y), \cos(5y) e \operatorname{sen}(4y) estão todos no intervalo [-1,1], ou seja, o numerador fica sempre limitado em módulo por 1. Já o denominador tem o fator y que cresce sem limite, multiplicado por \operatorname{sen}(5y)\cos(4y), que oscila em [-1,1].

Passo 4

Se \operatorname{sen}(5y)\cos(4y) ficasse afastado de zero, a fração teria ordem de grandeza O(1/y) e tenderia a zero. Contudo, existem sequências y_k\to\infty tais que \operatorname{sen}(5y_k)=0 ou \cos(4y_k)=0, fazendo o denominador se anular e a expressão divergir. Assim, não há um único valor para o limite, pois a função tanto pode ficar arbitrariamente grande (em módulo) quanto oscilar.

Resposta

O limite não existe.

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