Calculando limites quando x \rightarrow \pm \infty
Nos exercicios 37-42, encontre o limite de cada função quando (a) x \rightarrow \infty e (b) x \rightarrow-\infty. (Você pode visualizar sua resposta com um computador ou uma calculadora graífica.)
h(x)=\frac{-5+(7 / x)}{3-\left(1 / x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \lim_{x\to\infty}h(x) e \lim_{x\to-\infty}h(x)
para
h(x)=\frac{-5+\frac{7}{x}}{3-\frac{1}{x^2}}.
O conteúdo aqui é limite no infinito de quociente de funções, usando que \tfrac{7}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^2}\to0 quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Pela propriedade do limite de quociente, se \lim_{x\to L}f(x)=F e \lim_{x\to L}g(x)=G\neq0, então
\lim_{x\to L}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{F}{G}.
Aqui f(x)=-5+\tfrac{7}{x} e g(x)=3-\tfrac{1}{x^2}, e L será +\infty ou -\infty.

Passo 3

Calculando o limite do numerador:
\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(-5+\tfrac{7}{x}\Bigr) =-5 + \lim_{x\to\pm\infty}\tfrac{7}{x} =-5 + 0 =-5.

Passo 4

Calculando o limite do denominador:
\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(3-\tfrac{1}{x^2}\Bigr) =3 - \lim_{x\to\pm\infty}\tfrac{1}{x^2} =3 - 0 =3.

Passo 5

Como o denominador tende a 3\neq0, o limite do quociente é
\lim_{x\to\pm\infty}h(x) =\frac{-5}{3} =-\tfrac{5}{3}.

Resposta

(a) -\tfrac{5}{3}
(b) -\tfrac{5}{3}

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