Usando o limite
da a definição de derivada, calcule
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a definição da derivada
As informações relevantes dadas são:
e o ponto onde queremos a derivada é
.
Também é relevante notar que a função está bem definida em porque
.
Também é relevante notar que a função está bem definida em
Passo 2
Primeiro substituímos
na definição e escrevemos
e
. Calculamos:
Logo a diferença quociente fica
Passo 3
Agora vamos simplificar o numerador, transformando em uma única fração. Primeiro fatoramos o
:
Em seguida calculamos
juntando em denominador comum
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora simplificamos a expressão cancelando o fator
(observação: podemos cancelar porque, na definição de limite, consideramos
próximos de
mas
):
Explicando o porquê: o
no numerador e o
do denominador se anulam, sobrando uma função de
que é contínua em
.
Passo 5
Como a expressão resultante é contínua em
, o valor do limite é obtido apenas substituindo
:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida:
significa que a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
. Como checagem alternativa (fora do método pedido), a regra geral para derivar
por regras usuais dá
; avaliando em
obtemos
, concordando com o resultado obtido pelo limite.