Usando o limite
f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
da a definição de derivada, calcule f^{\prime}(4) sabendo que f(x)=\frac{3}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(4) usando a definição da derivada
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
As informações relevantes dadas são:
f(x)=\frac{3}{x-2}
e o ponto onde queremos a derivada é a=4.
Também é relevante notar que a função está bem definida em x=4 porque 4-2\neq0.

Passo 2

Primeiro substituímos a=4 na definição e escrevemos f(4+h) e f(4). Calculamos:
f(4+h)=\frac{3}{4+h-2}=\frac{3}{2+h}
f(4)=\frac{3}{4-2}=\frac{3}{2}
Logo a diferença quociente fica
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{\dfrac{3}{2+h}-\dfrac{3}{2}}{h}.

Passo 3

Agora vamos simplificar o numerador, transformando em uma única fração. Primeiro fatoramos o 3:
\frac{\dfrac{3}{2+h}-\dfrac{3}{2}}{h}= \frac{3\left(\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}\right)}{h}.
Em seguida calculamos \dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2} juntando em denominador comum 2(2+h):
\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\dfrac{-h}{2(2+h)}.
Substituindo de volta:
\frac{3\left(\dfrac{-h}{2(2+h)}\right)}{h}.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão cancelando o fator h (observação: podemos cancelar porque, na definição de limite, consideramos h próximos de 0 mas h\neq0):
\frac{3\left(\dfrac{-h}{2(2+h)}\right)}{h}=3\cdot\frac{-h}{2(2+h)}\cdot\frac{1}{h}=3\cdot\frac{-1}{2(2+h)}=\frac{-3}{2(2+h)}.
Explicando o porquê: o h no numerador e o h do denominador se anulam, sobrando uma função de h que é contínua em h=0.

Passo 5

Como a expressão resultante é contínua em h=0, o valor do limite é obtido apenas substituindo h=0:
f^{\prime}(4)=\lim_{h\to0}\frac{-3}{2(2+h)}=\frac{-3}{2(2+0)}=\frac{-3}{4}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: f^{\prime}(4)=-\tfrac{3}{4} significa que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=4 é -\tfrac{3}{4}. Como checagem alternativa (fora do método pedido), a regra geral para derivar \dfrac{3}{x-2} por regras usuais dá f'(x)=-\dfrac{3}{(x-2)^2}; avaliando em x=4 obtemos -3/4, concordando com o resultado obtido pelo limite.

Resposta

-\dfrac{3}{4}

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