Usando os limites fundamentais, calcule os limites a seguir. Considere a e b números reais.
g) lim x -infty(x+2x-1)^x+b

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -inftyl(tfracx+2x-1r)^x+b. O conteúdo envolve limites do tipo “base vai a 1” e “expoente vai a infinito”, então vamos usar o limite fundamental para expressões na forma (1+u(x))^v(x).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a base de forma a evidenciar 1+u(x):
x+2x-1 = 1 + (x+2)-(x-1)x-1 = 1 + 3x-1
Logo, podemos definir u(x)=tfrac3x-1, que tende a zero quando xto -infty, e o expoente v(x)=x+b, que tende a -infty em módulo.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de que, se u(x)to0 e |v(x)|toinfty, então
(1+u(x))^v(x) ;longrightarrow; e^limxto-infty u(x)v(x)
Aqui
u(x)v(x) = 3x-1,(x+b) = 3x+bx-1 ,
Como xto -infty, temos x+bx-1to1, logo esse produto tende a 3.

Passo 4

Portanto, o limite pedido é
limxto-inftyl(tfracx+2x-1r)^x+b = e^3

Resposta

e^3

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